Question

6．如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.3m正方形邊界abcd中有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀=0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量m=8×10^-26kg、電荷量q=8×10^-19C的粒子（重力不計(jì)）從邊界ad上某點(diǎn)D以某個(gè)速度射入．粒子從cd中點(diǎn)P孔射出，再經(jīng)小孔Q進(jìn)入相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，區(qū)域?qū)挾葹?L，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=5×10⁵V/m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁=1T、方向垂直紙面向里，已知粒子經(jīng)過QM正中間位置時(shí)有一段時(shí)間△t撤去了勻強(qiáng)電場(chǎng)．虛線ef、gh之間存在著水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=0.25T（圖中未畫出）．有一塊折成等腰直角的硬質(zhì)塑料板ABC（不帶電，寬度很窄，厚度不計(jì)）放置在ef、gh之間（截面圖如圖），CB兩點(diǎn)恰在分別位于ef、gh上，AC=AB=0.3m，a=45°．粒子恰能沿圖中虛線QM進(jìn)入ef、gh之間的區(qū)域，π取3．

（1）Dd距離；
（2）已知粒子與硬質(zhì)塑料相碰后，速度大小不變，方向變化遵守光的反射定律．粒子從Q到gh過程中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和路程分別是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在電磁場(chǎng)中受力平衡求解速度大小，粒子在abcd磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛侖茲力提供向心力求解半徑，再由幾何知識(shí)可得粒子射入點(diǎn)的位置在ad邊上距d點(diǎn)的距離；
（2）粒子從P以速度v₀進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到平行板正中間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)n圈，然后做勻速直線運(yùn)動(dòng)打到ab板上，以大小為v₀的速度垂直于磁場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)．求出粒子在正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子將以半徑R₃在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周后打到ab板的下部．分析粒子在磁場(chǎng)中共碰到多少塊板，根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解總時(shí)間；最后根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況得到總路程．

解答 解：（1）要使粒子能沿圖中虛線PQ進(jìn)入ef、gh之間的區(qū)域，則粒子所受到向上的洛倫茲力與向下的電場(chǎng)力大小相等，有qv₀B₁=qE，解得v₀=5×10⁵m/s，
粒子在abcd磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R₁，洛侖茲力提供向心力，有，qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，解得R₁=0.1m，
作出粒子在磁場(chǎng)中軌跡圖如圖所示．

由幾何知識(shí)可得R₁+R₁cosθ=$\frac{1}{2}$L，解得θ=60°，粒子射入點(diǎn)的位置在ad邊上距d點(diǎn)為x=R₁sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{20}$m；
（2）粒子從P以速度v₀進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到平行板正中間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)n圈，然后做勻速直線運(yùn)動(dòng)打到AB板上，以大小為v₀的速度垂直于磁場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)．粒子運(yùn)動(dòng)到在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁=0.8T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力有qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$，運(yùn)動(dòng)周期T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$，
粒子在正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁=nT₁+$\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$，其中n為正整數(shù)；
粒子將以半徑R₃在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周后打到AB板的下部．
由于不計(jì)板的厚度，所以質(zhì)子從第一次打到AC板到第二次打到AC板后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間，即一個(gè)周期T₃，
由qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{3}^{\;}}$和T₃=$\frac{2π{R}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$，得T₃=$\frac{2πm}{q{B}_{2}^{\;}}$，
粒子在磁場(chǎng)中共碰到2塊板，做圓周運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間為t₂=2T₃，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中，在v₀方向的總位移s₃=2Lsin45°、時(shí)間t₃=$\frac{s}{{v}_{0}^{\;}}$，
從Q到gh過程的總時(shí)間為t=t₁+t₂+t₃，
從Q到gh過程的總路程為M=2L+n（2πR₂）+2πR₃×2+s₃，
解得△t=（7.4×10^-6+7.5n×10^-7）s、
M=（6.112+0.3n）m．
答：（1）Dd距離為$\frac{\sqrt{3}}{20}m$；
（2）粒子從Q到gh過程中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$（7.4×1{0}_{\;}^{-6}+7.5n×1{0}_{\;}^{-7}）s$，路程是（6.112+0.3n）．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求時(shí)間；對(duì)于帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般是按類平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)進(jìn)行解答．