Question

13．如圖所示的光滑軌道槽，兩端A、B水平，中間為豎直平面內(nèi)半徑為R的圓周，軌道的右側(cè)周定一半徑為r的四分之一圓弧．圓心在B點(diǎn)，以B點(diǎn)為圓心建立直角坐標(biāo)系，一質(zhì)量為m的小球開(kāi)始靜止在A端，現(xiàn)給小球一水平初速度v₀
（1）為使小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道，求v₀大��；
（2）若R=0.5m，r=5$\sqrt{2}$m，g=10m/s²，為使小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)剛好不脫離圓軌道，并且能運(yùn)動(dòng)到B端并最終打在圓弧上，求打在圓弧上的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)剛好不脫離圓軌道時(shí)，在軌道最高點(diǎn)由重力提供向心力．由向心力公式求最高點(diǎn)的最小速度，再由機(jī)械能守恒求出v₀大小范圍．
（2）小球離開(kāi)B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)解答．

解答 解：（1）小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)剛好不脫離圓軌道時(shí)，在軌道最高點(diǎn)由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：
  2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立可得 v₀=$\sqrt{5gR}$
故為使小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道，必須有v₀≥$\sqrt{5gR}$．
（2）小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)剛好不脫離圓軌道時(shí)，由上可得 v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.5}$=5m/s
設(shè)打在圓弧上的坐標(biāo)為（x，y）．
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
  x=v₀t
  y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又由數(shù)學(xué)知識(shí)有：x²+y²=r²；
聯(lián)立解得：t≈0.88s，x=4.4m，y=3.872m
答：（1）為使小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道，必須有v₀≥$\sqrt{5gR}$．
（2）打在圓弧上的坐標(biāo)為（4.4m，3.872m）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件和小球落在圓弧上的條件：x²+y²=r²；再結(jié)合機(jī)械能守恒和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律答題．