Question

【題目】在如圖所示xoy坐標(biāo)系第一象限的三角形區(qū)域（坐標(biāo)如圖中所標(biāo)注）內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場，在x軸下方有沿+y方向的勻強電場，電場強度為E．將一個質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計）從P（0，﹣a）點由靜止釋放．由于x軸上存在一種特殊物質(zhì)，使粒子每經(jīng)過一次x軸后速度大小變?yōu)榇┻^前的倍．

（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過x軸，磁場的磁感應(yīng)強度B0最小是多少？

（2）在磁感應(yīng)強度等于第（1）問中B0的情況下，求粒子在磁場中的運動時間；

（3）若磁場的磁感應(yīng)強度變?yōu)榈冢?/span>1）問中B0的2倍，求粒子運動的總路程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)粒子到O點時的速度為v0，由動能定理有：

解得：

粒子經(jīng)過O點后，速度為v1，

如圖甲所示，粒子進(jìn)入磁場后的軌跡圓與磁場邊界相切時，磁感應(yīng)強度最小為B0．設(shè)粒子軌道半徑為R1，有：

由：

得：

（2）如圖甲，粒子經(jīng)O1點進(jìn)入電場區(qū)域做勻減速運動，后又加速返回，再次進(jìn)入磁場時的速率

此時粒子做圓周運動的半徑：

其運動軌跡如圖甲所示，此后不再進(jìn)入磁場．由幾何關(guān)系可知，∠MO1′O1=60°
則粒子在磁場中運動的時間為：

（3）若B=2B0，粒子的運動情況如圖乙所示，

粒子經(jīng)過O點第一次進(jìn)入磁場時的速率仍為v1，在磁場中做圓周運動的半徑記為R1′，由第（1）問可知，，
粒子從O1點穿過x軸進(jìn)入電場時速率為

運動到P1點后返回，則由動能定理：

解得：

當(dāng)粒子第二次進(jìn)入磁場時的速率：

做圓周運動的半徑為：

粒子從O2點穿過x軸進(jìn)入電場時速率為：

，

運動到P2點后返回，則由動能定理：

解得：

依此類推可知，當(dāng)粒子第n次進(jìn)入磁場時，其在磁場中做圓周運動的軌道半徑為，再進(jìn)入電場中前進(jìn)的距離

因此，粒子運動的總路程為