Question

5．如圖所示，邊界PQ以上和MN以下空間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度均為4B，PQ、MN間距離為2$\sqrt{3}$d，絕緣板EF、GH厚度不計(jì)，間距為d，板長(zhǎng)略小于PQ、MN間距離，EF、GH之間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．有一個(gè)質(zhì)量為m的帶正電的粒子，電量為q，從EF的中點(diǎn)S射出，速度與水平方向成30°角，直接到達(dá)PQ邊界并垂直于邊界射入上部場(chǎng)區(qū)，軌跡如圖所示，以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與絕緣板相碰時(shí)無(wú)能量損失且遵循反射定律，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后該粒子能再回到S點(diǎn)．（粒子重力不計(jì)）
求：①粒子從S點(diǎn)出發(fā)的初速度v；
②粒子從S點(diǎn)出發(fā)第一次再回到S點(diǎn)的時(shí)間；
③若其他條件均不變，EF板不動(dòng)，將GH板從原位置起向右平移，且保證EFGH區(qū)域內(nèi)始終存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，若仍需讓粒子回到S點(diǎn)（回到S點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與板只碰撞一次），則GH到EF的垂直距離x應(yīng)滿足什么關(guān)系？（用d來(lái)表示x）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在EF和GH間做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合半徑公式求出粒子從S點(diǎn)出發(fā)的初速度．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式，結(jié)合圓心角的大小求出粒子從S點(diǎn)出發(fā)第一次再回到S點(diǎn)的時(shí)間．
（3）作出粒子的軌跡圖，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期性，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出GH到EF的垂直距離x應(yīng)滿足通項(xiàng)表達(dá)式．

解答 解：（1）PQ、MN間距離$L=2\sqrt{3}d$，且s為中點(diǎn)，
根據(jù)幾何關(guān)系有：${R}_{1}sin60°=\sqrt{3}d$，R₁=2d．
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，${R}_{1}=\frac{mv}{qB}$，
則粒子從S點(diǎn)出發(fā)的初速度$v=\frac{qB{R}_{1}}{m}=\frac{2qBd}{m}$．

（2）如圖，粒子應(yīng)從G點(diǎn)進(jìn)入PQ的場(chǎng)
在4B場(chǎng)內(nèi)，$q4Bv=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，${R}_{2}=\frac{mv}{q4B}=\frac{{R}_{1}}{4}=\fracb4x8uxs{2}$．
做半圓，并垂直P(pán)Q再由E點(diǎn)回到B場(chǎng)區(qū)
由對(duì)稱性，粒子將打到GH中點(diǎn)并反彈，再次回到S點(diǎn)的軌跡如圖
粒子在B場(chǎng)中時(shí)間${t}_{1}=4×\frac{1}{6}{T}_{1}=\frac{2}{3}{T}_{1}=\frac{2}{3}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πm}{3qB}$．
粒子在4B場(chǎng)中時(shí)間${t}_{2}=2×\frac{1}{2}{T}_{2}={T}_{2}=\frac{2πm}{q4B}=\frac{πm}{2qB}$．
${t}_{總}(cāng)={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{11πm}{6qB}$．

（3）如圖所示，由粒子運(yùn)行的周期性以及與板碰撞遵循反射定律，有如下結(jié)果：

x=（3n+1）d，（n=0，1，2，3…） 或 x=3nd，（n=0，1，2，3…）      
答：（1）粒子從S點(diǎn)出發(fā)的初速度為$\frac{2qBd}{m}$；
（2）粒子從S點(diǎn)出發(fā)第一次再回到S點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{11πm}{6qB}$．
（3）GH到EF的垂直距離x應(yīng)滿足x=（3n+1）d，（n=0，1，2，3…） 或 x=3nd，（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出軌跡圖，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解，在第三問(wèn)中，要注意粒子運(yùn)動(dòng)的周期性．本題難度較大．