Question

2．假如一宇航員站在一星球表面上，若沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落到星球表面，并測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的水平距離為L(zhǎng)；若在同一拋出點(diǎn)，以相同大小的初速度豎直向下拋出小球，則經(jīng)過(guò)$\frac{t}{2}$時(shí)間落地，已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G．求：
（1）該星球表面的重力加速度g′；
（2）該星球的質(zhì)量M；
（3）該星球的“第一宇宙速度”v₁．

Answer 1

分析 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)和豎直下拋的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，聯(lián)立求出星球表面的重力加速度大�。�根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出星球的質(zhì)量，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出星球的第一宇宙速度大小．

解答 解：（1）當(dāng)物體做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：L=v₀t．h=$\frac{1}{2}g′{t}^{2}$，
當(dāng)物體做豎直下拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：$h={v}_{0}（\frac{t}{2}）+\frac{1}{2}g（\frac{t}{2}）^{2}$，
聯(lián)立解得g′=$\frac{4L}{3{t}^{2}}$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg′$，解得星球的質(zhì)量M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$=$\frac{4L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$．
（3）根據(jù)$mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{g′R}=\sqrt{\frac{4LR}{3{t}^{2}}}$．
答：（1）星球表面的重力加速度為$\frac{4L}{3{t}^{2}}$；
（2）星球的質(zhì)量為$\frac{4L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$；
（3）星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{4LR}{3{t}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力、萬(wàn)有引力提供向心力這兩個(gè)重要理論，并能靈活運(yùn)用．