Question

16．利用電場和磁場，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學(xué)分析和原子核技術(shù)領(lǐng)域有重要的應(yīng)用． 如圖所示的矩形區(qū)域ABDG（AC邊足夠長）中存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，A處有一狹縫．離子源產(chǎn)生的離子，經(jīng)電場加速后穿過狹縫沿垂直于GA且垂直于磁場的方向射入磁場，運(yùn)動(dòng)到GA邊，被相應(yīng)的收集器收集．整個(gè)裝置內(nèi)部為真空．已被加速的兩種正離子的質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q．加速電場的電勢(shì)差為U．離子進(jìn)入電場時(shí)的初速度可以忽略．不計(jì)重力，也不考慮離子間的相互作用．
（1）求質(zhì)量為m₁的離子進(jìn)入磁場時(shí)的速度v₁；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B時(shí)，求兩種離子在GA邊落點(diǎn)的距離x；
（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實(shí)際裝置中狹縫具有一定的寬度．若狹縫過寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點(diǎn)區(qū)域交疊，導(dǎo)致兩種離子無法完全分離．設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)，GA邊長為一定值L，狹縫寬度為d，狹縫右邊緣在A處，離子可以從狹縫各處射入磁場，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場，為保證上訴兩種離子能落在GA邊上并被完全分離，求狹縫的最大寬度．

Answer 1

分析 帶電粒子先進(jìn)入電場再進(jìn)入磁場，這是最基礎(chǔ)的物理問題，利用動(dòng)能定理和牛頓第二定律不難離開電場的速度和在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（1）利用動(dòng)能定理，電場力做的功等于粒子動(dòng)能的增量，很容易求出進(jìn)入磁場的速度，這是本題的第一個(gè)鋪墊．
（2）由洛侖茲力提供向心力（即牛頓第二定律）也很方便求出兩種粒子落點(diǎn)的距離，這是本題的第二個(gè)鋪墊．
（3）要使兩種粒子的落點(diǎn)無重疊，則直徑之差大于縫寬，結(jié)合質(zhì)量較大的粒子的走私有一最大值L-d，代入不等式，就能求出縫寬的最大值．

解答 解：（1）加速電場對(duì)離子m₁做的功為：W=qU
由動(dòng)能定理有：$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=qU$…①
得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$
   （2）由牛頓第二定律和洛侖茲力公式有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
$R=\frac{mv}{qB}$．
 利用①式得離子在磁場中的軌道半徑分別為：
${R}_{1}=\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q{B}^{2}}}$，${R}_{2}=\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q{B}^{2}}}$…②
兩種離子在GA上落點(diǎn)的間距為：$x=2{R}_{1}-2{R}_{2}=\sqrt{\frac{8U}{q{B}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}）$…③
（3）質(zhì)量為m₁的離子，在GA邊上的落點(diǎn)都在其入射點(diǎn)左側(cè)2R₁處，由于狹縫的寬度為d，因此落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d，同理，質(zhì)量為m₂的離子在GA邊上落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d．
為保證兩種離子能完全分離，兩個(gè)區(qū)域應(yīng)無交疊，條件為：
2R₁-2R₂＞d…④
利用②式，代入④式得：$2{R}_{1}（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}）＞d}$          
R₁的最大值滿足2R_m=L-d       
得：$（L-d）（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}）}＞d$
求得最大值為：$nh7yzfu_{m}=\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$   
答：（1）求質(zhì)量為m₁的離子進(jìn)入磁場時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$．
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B時(shí)，求兩種離子在GA邊落點(diǎn)的距離為$\sqrt{\frac{8U}{q{B}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}）$．
（3）若考慮縫寬，要使兩種粒子的落點(diǎn)無重疊，則縫寬的最大值為$\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于第三問，在解得前兩問的基礎(chǔ)上，才能畫龍點(diǎn)睛．關(guān)鍵點(diǎn)在于等式和不等式的結(jié)合，不等式是直徑之差大于縫寬，等式是質(zhì)量較大的粒子有一最大半徑L-d，聯(lián)立兩式可以縫寬最大值．