Question

17．課外活動小組的同學用圖甲所示的實驗裝置研究小球對軌道的壓力與下滑高度的關系．處在豎直平面內的光滑斜面軌道AB與光滑圓弧軌道BCD相切于B點，小球從軌道AB上高H處的某點由靜止釋放，用與計算機連接的壓力傳感器測出小球經過圓弧最低點C時對軌道的壓力大小F_C，不斷改變小球的下滑高度H，測出相應的F_C，在計算機上作出F_C隨高度H的變化關系圖象，如圖乙中圖線Ⅰ所示．g=10m/s²．

（1）根據(jù)圖線Ⅰ，在圖乙中作出小球過軌道最高點D時對軌道的壓力大小F_D隨高度H的變化關系圖線，并求出小球質量m和圓弧軌道的半徑R；
（2）現(xiàn)在D點也安裝一個壓力傳感器，并使軌道CD部分比原來稍粗糙，結果在計算機上得到的F_D隨高度H的變化關系如圖乙中的圖線Ⅱ所示．根據(jù)圖線Ⅰ、Ⅱ，求出小球分別從H₁=0.6m、H₂=1.2m高度下滑時通過CD段克服摩擦力做的功，并由此分析小球在CD段克服摩擦力做的功W_f與下滑高度H的定性關系．

Answer 1

分析 （1）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律和牛頓定律求出小球對軌道C點的壓力F_C與H的關系式，然后結合F-H圖線求出小球質量m和圓弧軌道的半徑R．
（2）使軌道CD部分比原來稍粗糙，根據(jù)動能定理和牛頓第二定律結合求克服摩擦力做功，再得出W_f與下滑高度H的定性關系．

解答 解：（1）對小球從A運動到C的過程，由動能定理得：
   mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點，根據(jù)牛頓第二定律得
    F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 F_C=$\frac{2mg}{R}$H+mg．
由圖乙可知，H=0時，F(xiàn)_C=1N，代入上式解得 m=0.1kg
當H=1.2m時，F(xiàn)_C=13N，代入上式解得 R=0.2m
對小球從A運動到D的過程，由動能定理得：
  mg（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在D點，根據(jù)牛頓第二定律得
  F_D+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 F_D=$\frac{2mg}{R}$H-5mg=$\frac{2×0.1×10}{0.2}$H-5=10H-5（N）
作出F_D-H圖線如圖Ⅲ所示．
（2）由圖乙知，當H₁=0.6m時，F(xiàn)_C=7N，F(xiàn)_D=0
在C點，根據(jù)牛頓第二定律得
   F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
在D點，根據(jù)牛頓第二定律得
F_D+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根據(jù)功能關系可知，小球通過CD段克服摩擦力做的功 W_f1=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR）
聯(lián)立解得 W_f1=0.1J
由圖乙知，當H₂=1.2m時，F(xiàn)_C=13N，F(xiàn)_D=5N，運用同樣的方法可得 W_f2=0.2J
可知，小球下滑高度越高，克服摩擦力做的功越多
答：
（1）如圖Ⅲ所示．小球質量m和圓弧軌道的半徑R分別為0.1 kg和0.2 m．
 （2）小球分別從H₁=0.6m、H₂=1.2m高度下滑時通過CD段克服摩擦力做的功分別為0.1J和0.2 J，小球下滑高度越高，克服摩擦力做的功越多．

點評 本題通過動能定理和牛頓第二定律求出F與H的表達式是解決本題的關鍵，列出解析式，再作圖象是常用的方法，要學會應用．