Question

（2005?上海模擬）密度大于液體的固體顆粒，在液體中豎直下沉，開始時(shí)是加速下沉，但隨著下沉速度變大，固體所受的阻力也變大，故下沉到一定深度后，固體顆粒是勻速下沉的．
該實(shí)驗(yàn)是研究球形固體顆粒在水中豎直勻速下沉的速度與哪些量有關(guān)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄如下表：（水的密度為ρo=1.0×103kg/m3)

次序	1	2	3	4	5	6	7
固體球的半徑r（m）	0.5×10-3	1.0×10-3	1.5×10-3	0.50×10-3	1.0×10-3	0.50×10-3	1.0×10-3
固體的密度ρ（kg/m3）	2.0×103	2.0×103	2.0×103	3.0×103	3.0×103	4.0×103	4.0×103
（p-p0）kg/m3	1.0×103	1.0×103	1.0×103	2.0×103	2.0×103	3.0×103	3×103
勻速下沉的速度v（m/s）	0.55	2.20	4.95	1.10	4.40	1.65	6.60

（1）根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你推出球形固體在水中勻速下沉的速度v與r的關(guān)系為

v∝r²

；以及v與ρ的關(guān)系為

v∝（ρ-ρ₀）

．
我們假定下沉速度v與實(shí)驗(yàn)處的重力加速度g成正比，即v∝g．由此可知，球形固體在水中勻速下沉的速度v與g、ρ、r的關(guān)系為

v=k(ρ-ρ0)r2g

．（只要求寫出關(guān)系式，比例系數(shù)可用k表示）．
（2）對(duì)勻速下沉的固體球作受力分析：固體球受到浮力（浮力的大小等于排開液體的重力）、重力（球體積公式以v=

4

3

πr3計(jì)算）、勻速下沉?xí)r球受到的阻力f．試寫出f與v及r的關(guān)系式（分析和推導(dǎo)過程不必寫）；f=

4πrv

3k

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)分析可知：球形固體在水中勻速下沉的速度與固體球的半徑和密度均有關(guān)系，我們可以采用控制變量法來確定另一物理量與速度的關(guān)系，最終得出速度與固體球的半徑與密度的確切關(guān)系；
（2）固體球在水中最后在勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，其受重力、浮力以及水的阻力，三力平衡解出阻力與速度及半徑的關(guān)系．

解答：解：（1）從表格中次序?yàn)?、2、3或4、5或6、7的各行中可以看出，固體顆粒密度相同，固體球的半徑r越大則勻速下沉的速度v越大，而且勻速下沉的速度與固體顆粒的半徑平方成正比，設(shè)球形固體顆粒的半徑為r，密度為ρ，在水中勻速下降的速度為v．由題意知v∝g．由控制變量法容易得出：當(dāng)ρ一定時(shí)，比如：從表格中次序?yàn)?、2、3或4、5或6、7的各行可以得出結(jié)論：v∝r²． 從表格中的1、4、6或2、5、7各行可以看出固體球的半徑r相同，固體的密度ρ越大則勻速下沉的速度v越大，即即勻速下沉的速度與固體顆粒的密度有關(guān)．
但是表格中的1、4、6或2、5、7各行，當(dāng)r一定時(shí)v和ρ的關(guān)系難以立即判斷．因此需要換個(gè)角度考慮．我們可以觀察，當(dāng)r一定時(shí)，在每個(gè)ρ值后都減去1.0×10³kg/m³（即水的密度）得到的數(shù)值與v成正比．即：
    v∝（ρ-ρ₀），則：v=kgr²（ρ-ρ₀）．
（2）勻速下沉?xí)r，由平衡條件可知重力等于固體球所受的浮力加球所受的阻力，所以：mg=ρ₀

4

3

πr3g+f，
把固體球的質(zhì)量 m=ρ

4

3

πr3代入上式，結(jié)合v=kgr²（ρ-ρ₀），
解得：f=

4πrv

3k

故答案為：（1）v∝r²，v∝（ρ-ρ₀），v=k(ρ-ρ0)r2g
（2）

4πrv

3k

點(diǎn)評(píng)：此題實(shí)驗(yàn)中判斷速度與各物理量間的關(guān)系時(shí)因?yàn)橛袃蓚�(gè)變量，所以我們應(yīng)當(dāng)用控制變量法來判斷速度與另一物理量的關(guān)系．