Question

10．如圖所示，在xOy坐標系第二象限內(nèi)有一圓形勻強磁場區(qū)域，半徑為，圓心O′坐標為（-l₀，l₀），磁場方向垂直xOy平面．在x軸上有坐標（-l₀，0）的P點，兩個電子a、b以相同的速率v沿不同方向從P點同時射入磁場，電子a的入射方向為y軸正方向，b的入射方向與y軸正方向夾角為θ=$\frac{π}{3}$．電子a經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后從y軸上的Q（0，l₀）點進人第一象限，在第一象限內(nèi)緊鄰y軸有沿y軸正方向的勻強電場，場強大小為$\frac{m{v}^{2}}{e{l}_{0}}$，勻強電場寬為$\sqrt{2}$l₀．已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e，不計重力及電子間的相互作用．求：
（1）磁場的磁感應強度B的大小
（2）b電子在磁場中運動的時間
（3）a、b兩個電子經(jīng)過電場后到達x軸的坐標差△x．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，畫出電子的運動軌跡，由幾何關系可知電子的運動半徑，由洛侖茲力充當向心力可求得磁感應強度B；
（2）由幾何知識求出b電子在磁場中運動轉(zhuǎn)過的圓心角，得到其運動周期，即可求出b電子在磁場中運動的時間．
（3）電子在電場中做類平拋運動，其中b粒子離開電場后做直線運動，由運動學規(guī)律可求得兩電子到達x軸上的坐標值，進而求得坐標差．

解答 解：（1）兩電子軌跡如圖．
由圖可知，a電子作圓周運動的半徑 R=l₀
由牛頓第二定律得：Bve=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：B=$\frac{mv}{e{l}_{0}}$
（2）由幾何知識分析可知b電子在磁場中運動轉(zhuǎn)過的圓心角為 $ϕ=\frac{5π}{6}$
b電子在磁場中運動的時間 ${t_b}=\frac{ϕ}{2π}T$
b電子在磁場中運動的周期為 $T=\frac{2πm}{Be}=\frac{{2π{l_0}}}{v}$
解得 ${t_b}=\frac{{5π{l_0}}}{6v}$
（3）在電場中 y=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
 加速度 a=$\frac{eE}{m}$          
 $\sqrt{2}$l₀=vt₁；  
代入y=l₀，即a電子恰好擊中x軸上坐標為$\sqrt{2}$l₀的位置    
根據(jù)幾何分析，PO′AO″為菱形，所以PO′與O″A平行．又因為PO′⊥x軸，O″A⊥x軸，所以粒子出場速度v_A平行于x軸，即b電子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后，也恰好沿x軸正方向進入電場，有：
y_b=r+rcos30°=l₀+$\frac{\sqrt{3}}{2}$l₀     
當b沿y方向運動l₀后沿與x軸方向成α做勻速直線運動為：$tanα=\frac{v_⊥}{v}$
而 v_⊥=at
又由中點推論可得：$tanα=\sqrt{2}$
由$tanα=\frac{{{y_b}-{l_0}}}{△x}$         
解得：△x=$\frac{\sqrt{6}}{4}{l}_{0}$
答：（1）磁場的磁感應強度B的大小為$\frac{mv}{e{l}_{0}}$．
（2）b電子在磁場中運動的時間為$\frac{5π{l}_{0}}{6v}$．
（3）a、b兩個電子經(jīng)過電場后到達x軸的坐標差△x為$\frac{\sqrt{6}}{4}{l}_{0}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場和電場中的運動，要注意電子在磁場中做勻速圓周運動，在磁場中做平拋運動，要求正確利用好幾何關系進行分析．