Question

8．如圖甲所示，定滑輪上繞一細(xì)線，線的一端系一質(zhì)量為M的重物，另一端系一質(zhì)量為m的金屬棒，金屬棒ab放在兩根間距為L的足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與水平方向的夾角為θ，在兩導(dǎo)軌底端之間連接有阻值為R的電阻、導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直向上．開始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端，將重物由靜止釋放，重物最終能勻速下滑．運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿始終與兩導(dǎo)軌垂直且接觸良好，已知重力加速度為g；求：
（1）求重物勻速下降時(shí)的速度大小；
（2）當(dāng)M勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，突然剪斷細(xì)線，金屬棒繼續(xù)沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑行了一段距離s后達(dá)到最高點(diǎn)，求此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）對(duì)一定的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，重物取不同的質(zhì)量M，測(cè)出相應(yīng)的重物做勻速下降運(yùn)動(dòng)時(shí)的v值，得到實(shí)驗(yàn)圖線如圖乙所示．圖中畫出了磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁和B₂時(shí)的兩條實(shí)驗(yàn)圖線，試根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，合力為零．分析金屬桿的受力情況，由F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv結(jié)合推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，即可由平衡條件求出重物勻速下降的速度v；
（2）若M從靜止到勻速的過程中下降高度h的過程中，M的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢(shì)能、系統(tǒng)的動(dòng)能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)第1題v的表達(dá)式，分析v-M圖象的斜率，結(jié)合圖象求出斜率，即可得到B₁和B₂的比值．

解答 解：（1）設(shè)重物勻速下降時(shí)的速度大小為v．
金屬桿達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，受繩子拉力F、金屬桿的重力mg、向下的安培力F_A．
則：F=F_A+mgsinθ…①
其中F=Mg…②
又對(duì)金屬桿有：安培力F_A=BIL，感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R}$，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv
則得：F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$…③
所以由①②③得：v=$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$…④
（2）剪斷細(xì)線后，對(duì)金屬棒和回路系統(tǒng)，產(chǎn)生的焦耳熱為Q，由能量守恒得：
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgssinθ+Q
解得 Q=$\frac{m（M-msinθ）^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgssinθ
（3）根據(jù)第1問求得的結(jié)果可知，由④式可得v-M的斜率為 k=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
由圖乙可得 k₁=$\frac{8}{5}$m/s•kg，k₂=$\frac{9}{10}$m/s•kg
可得 $\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$
代入數(shù)據(jù)解得 $\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{3}{4}$
答：
（1）重物勻速下降時(shí)的速度大小為$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）當(dāng)M勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，突然剪斷細(xì)線，金屬棒繼續(xù)沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑行了一段距離，后達(dá)到最高點(diǎn)，此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{m（M-msinθ）^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgssinθ；
（3）比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中運(yùn)用F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv推導(dǎo)安培力的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵步驟，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析圖象的斜率，得到B₁和B₂的比值．