Question

質(zhì)量為M的運動員手持一質(zhì)量為m的物塊，以速率v₀沿與水平面成a角的方向向前跳躍（如圖）．為了能跳得更遠一點，運動員可在跳遠全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出．物塊拋出時相對運動員的速度的大小u是給定的，物塊拋出后，物塊和運動員都在同一豎直平面內(nèi)運動．

    (1)若運動員在跳遠的全過程中的某時刻to把物塊沿與x軸負方向成某θ角的方向拋出，求運動員從起跳到落地所經(jīng)歷的時間．

    (2)在跳遠的全過程中，運動員在何處把物塊沿與x軸負方向成θ角的方向拋出，能使自己跳得更遠？若v₀和u一定，在什么條件下可跳得最遠？并求出運動員跳的最大距離．

Answer 1

（1）規(guī)定運動員起跳的時刻為，設(shè)運動員在點（見圖預解20-6）拋出物塊，以表示運動員到達點的時刻，則運動員在點的坐標、和拋物前的速度的分量、分別為

，         （1）

       （2）

，         （3）

     （4）

設(shè)在剛拋出物塊后的瞬間，運動員的速度的分量大小分別為、，物塊相對運動員的速度的分量大小分別為、，方向分別沿、負方向。由動量守恒定律可知

                 ，                   （5）

                                       （6）

因的方向與軸負方向的夾角為，故有

                                                          （7）

                                                          （8）

解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得

                                               （9）

                                           （10）

拋出物塊后，運動員從點開始沿新的拋物線運動，其初速度為、。在時刻（）運動員的速度和位置為

，                                     （11）

                  ，                               （12）

        ，             （13）

                                    （14）

由式（3）、（4）、（9）、（10）、（13）、（14）可得

                     （15）

                      （16）

運動員落地時，

                             

由式（16）得

                ，          （17）

方程的根為

               （18）

式（18）給出的兩個根中，只有當“”取“＋”時才符合題意，因為從式（12）和式（10），可求出運動員從點到最高點的時間為式

                 

而從起跳到落地所經(jīng)歷的時間應(yīng)比上面給出的時間大，故從起跳到落地所經(jīng)歷的時間為

         （19）

（2）由式（15）可以看出，越大，越小，跳的距離越大，由式（19）可以看出，當

＝0

時，的值最大，由式（3）和式（4）可知，拋出物塊處的坐標為

                   ，                               （20）

即應(yīng)在原點亦即在剛起跳時把物塊拋出，運動員可跳得遠一點。由式（19）可以得到運動員自起跳至落地所經(jīng)歷的時間為

                

把和代入式（15），可求得跳遠的距離，為

                  （21）

可見，若

，

即                   ，                           （22）

時，有最大值，即沿與軸成45°方向跳起，且跳起后立即沿與負軸成45°方向拋出物塊，則有最大值，此最大值為

                         （23）

評分標準：本題20分。

第一小問13分：求得式（15）、（16）各3分，式（17）2分，求得式（19）并說明“”取“＋”的理由給5分。第二小問7分：式（20）2分，式（22）2分，式（23）3分。