Question

據(jù)國外某媒體報(bào)道，2010年的某一天，一顆西方某國的間諜衛(wèi)星經(jīng)過中國西北某軍事訓(xùn)練基地上空時(shí)，突然“失明”近四十分鐘．據(jù)該媒體分析，在該間諜衛(wèi)星通過基地時(shí)，一顆在同一軌道上運(yùn)行的中國反間諜衛(wèi)星向后噴出一種特殊的高分子膠狀物質(zhì)，膠狀物質(zhì)附著在間諜衛(wèi)星的表面而使衛(wèi)星“失明”，當(dāng)膠狀物在真空中揮發(fā)后衛(wèi)星又能重新恢復(fù)工作．現(xiàn)已知地球的半徑R=6400km，地球表面處的重力加速度g=10m/s²．假設(shè)中國反間諜衛(wèi)星為一顆總質(zhì)量M=20kg的微型衛(wèi)星，衛(wèi)星在近地軌道上做勻速圓周運(yùn)動，衛(wèi)星向后瞬間噴出的膠狀物的質(zhì)量為1kg，膠狀物相對于地心的速度為零，問：（取

1.66

=1.29，結(jié)果保留三位有效數(shù)字）
（1）反間諜衛(wèi)星噴出膠狀物后，衛(wèi)星的速度變?yōu)槎嗌伲?br>（2）理論上，質(zhì)量為m₀的衛(wèi)星從半徑為r₁的較低軌道轉(zhuǎn)移到半徑為r₂的較高軌道的過程中，萬有引力做功W=m₀gR²（

1

r2

-

1

r1

）．現(xiàn)假設(shè)經(jīng)過一段時(shí)間后反間諜衛(wèi)星的運(yùn)動為勻速圓周運(yùn)動，則噴出膠狀物后衛(wèi)星運(yùn)動的最終軌道半徑為多少？

Answer 1

（1）由于反間諜衛(wèi)星在近地軌道做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，有：
Mg=M

v 20

R

得：v₀=

gR

　
衛(wèi)星噴出膠狀物后，由動量守恒得：
Mv₀=（M-m）v₁　
解得：v₁=

M

M-m

v₀=8.42×10³ m/s．
故間諜衛(wèi)星噴出膠狀物后，衛(wèi)星的速度變?yōu)?.42×10³ m/s．
（2）衛(wèi)星噴出膠狀物后做離心運(yùn)動，達(dá)到新的圓周軌道的半徑設(shè)為r，由動能定理
有：
（M-m）gR²（

1

r

-

1

R

）=

1

2

（M-m）v₂²-

1

2

（M-m）v₁²　
又G

M地?M-m?

r2

=（M-m）

v 22

r

　
GM_地=gR²　
聯(lián)立解得：r=7.18×10⁶ m．　
故噴出膠狀物后衛(wèi)星運(yùn)動的最終軌道半徑為：r=7.18×10⁶ m．