Question

在科學(xué)研究中，可以通過施加適當(dāng)?shù)碾妶龊痛艌鰜韺?shí)現(xiàn)對帶電粒子運(yùn)動(dòng)的控制． 如圖1所示的xOy平面處于勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t作周期性變化的圖象如圖2所示．x軸正方向?yàn)镋的正方向，垂直紙面向里為B的正方向．在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一粒子P，其質(zhì)量和電荷量分別為m和+q．不計(jì)重力． 在t=τ/2時(shí)刻釋放P，它恰能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．

（1）求P在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小v₀；
（2）求B₀應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）在t₀（0＜t₀＜τ/2）時(shí)刻釋放P，求P速度為零時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）在t=

1

2

τ時(shí)刻釋放帶電粒子P，在

1

2

τ～τ時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，τ～2τ時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出v₀；
（2）由題，粒子恰能沿一定軌道做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，分析可知，當(dāng)t=2τ時(shí)刻，P在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)束后并開始沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，才能沿一定的軌道作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，確定出粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的周期，粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解B₀應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）在t₀（0＜t₀＜τ/2）時(shí)刻釋放P，P在電場中加速時(shí)間為τ-t₀，由上題結(jié)果得到粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的速度和半徑，粒子又經(jīng)過（τ-t₀）時(shí)間速度減至零后向右加速時(shí)間為t₀，根據(jù)幾何知識求解P速度為零時(shí)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由圖2分析可知，在t=

1

2

τ時(shí)刻釋放帶電粒子P，在

1

2

τ～τ時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，τ～2τ時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
在電場中：粒子所受的電場力F=qE₀，
根據(jù)牛頓第二定律得：加速度為a=

F

m

P在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小v₀=at，t=

1

2

τ
解得，v₀=

qE0τ

2m

（2）只有當(dāng)t=2τ時(shí)刻，P在磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)束后并開始沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，才能沿一定的軌道作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖所示．設(shè)粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則（n-

1

2

）T=τ，（n=1，2，3…）
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有qvB₀=m

v2

r

，而T=

2πr

v

解得，B₀=

(2n-1)πm

qτ

，（n=1，2，3…）
（3）在t₀時(shí)刻釋放P，P在電場中加速時(shí)間為τ-t₀，
在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為 v₁=

qE0(τ-t0)

m

，
圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r₁=

mv1

qB0

解得，r₁=

E0(τ-t0)

B0

又經(jīng)（τ-t₀）時(shí)間P減速為零后向右加速時(shí)間為t₀，
P再次進(jìn)入磁場速度為 v₂=

qE0t0

m

圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r₂=

mv2

qB0

解得，r₂=

E0t0

B0

綜上分析，速度為零時(shí)橫坐標(biāo)為 x=0
相應(yīng)的縱坐標(biāo)為 y=

2[kr1-(k-1)r2] 2k(r1-r2)

，（k=1，2，3，…）
解得，y=

2E0[k(τ-2t0)+t0] B0 2kE0(τ-2t0) B0

，（k=1，2，3，…）
答：
（1）P在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小v₀為

qE0τ

2m

．
（2）B₀應(yīng)滿足的關(guān)系為B₀=

(2n-1)πm

qτ

，（n=1，2，3…）；
（3）在t₀（0＜t₀＜τ/2）時(shí)刻釋放P，P速度為零時(shí)橫坐標(biāo)為x=0，相應(yīng)的縱坐標(biāo)為y=

2E0[k(τ-2t0)+t0] B0 2kE0(τ-2t0) B0

，（k=1，2，3，…）．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的問題，分析粒子的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識求解坐標(biāo)．