Question

8．如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量為2M、半徑為R（R足夠大）的圓弧曲面C，質(zhì)量為M的小球B置于其底端，另一個(gè)小球A質(zhì)量為$\frac{M}{2}$，以v₀=6m/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，并與B發(fā)生彈性碰撞，不計(jì)一切摩擦，小球均視為質(zhì)點(diǎn)，求：
（1）小球B的最大速率；
（2）小球B運(yùn)動(dòng)到圓弧曲面最高點(diǎn)時(shí)的速率；
（3）通過計(jì)算判斷小球B能否與小球A再次發(fā)生碰撞．

Answer 1

分析 （1）A與B發(fā)生彈性碰撞，碰后B的速率最大，由動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒結(jié)合求小球B的最大速率；
（2）小球B運(yùn)動(dòng)到圓弧曲面最高點(diǎn)時(shí)B與C共速，由水平方向動(dòng)量守恒求B的速率；
（3）根據(jù)B、C系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求出小球B返回C的底端時(shí)的速率，與A的速率比較，分析B能否與小球A再次發(fā)生碰撞．

解答 解：（1）A與B發(fā)生彈性碰撞，取水平向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒得：
  $\frac{M}{2}$v₀=$\frac{M}{2}$v_A+Mv_B；
由動(dòng)能守恒得：$\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v₀²=$\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v_A²+$\frac{1}{2}$Mv_B²；
解得 v_A=-2m/s，v_B=4m/s
故B的最大速率為4m/s．
（2）B沖上C并運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)二者共速設(shè)為v，則
  Mv_B=（M+2M）v
可以得到：v=$\frac{4}{3}$m/s．
（3）從B沖上C然后又滑下的過程，設(shè)BC分離時(shí)速度分別為v_B′、v_C′．
由水平動(dòng)量守恒有
   Mv_B=Mv_B′+2Mv_C′
機(jī)械能也守恒，有$\frac{1}{2}$Mv_B²=$\frac{1}{2}$Mv_B′²+$\frac{1}{2}$•2Mv_C′²
聯(lián)立可以得到：v_B′=-$\frac{4}{3}$m/s
由于|v_B′|＜|v_A|，所有二者不會(huì)再次發(fā)生碰撞．
答：
（1）小球B的最大速率是4m/s；
（2）小球B運(yùn)動(dòng)到圓弧曲面最高點(diǎn)時(shí)的速率是$\frac{4}{3}$m/s．
（3）小球B不能與小球A再次發(fā)生碰撞．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，抓住碰撞過程動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒，B在C上運(yùn)動(dòng)的過程水平動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒進(jìn)行研究．要注意B在C上運(yùn)動(dòng)時(shí)總動(dòng)量并不守恒．