Question

5．如圖（甲）所示，兩光滑導軌都由水平、傾斜兩部分圓滑對接而成，相互平行放置，兩導軌相距L=lm，傾斜導軌與水平面成θ=30°角，傾斜導軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強磁場區(qū)I中，I區(qū)中磁場的磁感應強度B₁隨時間變化的規(guī)律如圖（乙）所示，圖中t₁、t₂未知．水平導軌足夠長，其左端接有理想電流表A和定值電阻R=3Ω，水平導軌處在一豎直向上的勻強磁場區(qū)Ⅱ中，Ⅱ區(qū)中的磁場恒定不變，磁感應強度大小為B₂=1T，在t=0時刻，從斜軌上磁場I 區(qū)外某處垂直于導軌水平釋放一金屬棒ab，棒的質量m=0.1kg，電阻r=2Ω，棒下滑時與導軌保持良好接觸，棒由斜軌滑向水平軌時無機械能損失，導軌的電阻不計．若棒在斜面上向下滑動的整個過程中，靈敏電流計G的示數(shù)大小保持不變，t₂時刻進入水平軌道，立刻對棒施一平行于框架平面沿水平方向且與桿垂直的外力．（g取10m/s²）求：

（l）ab棒進入磁場區(qū)I時的速度v；
（2）磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內ab棒上產生的熱量；
（4）若棒在t₂時刻進入水平導軌后，電流計G的電流大小I隨時間t變化的關系如圖（丙）所示（I₀未知），已知t₂到t₃的時間為0.5s，t₃到t₄的時間為1s，請在圖（丁）中作出t₂到t₄時間內外力大小F隨時間t變化的函數(shù)圖象．

Answer 1

分析 （1）題中電流表的示數(shù)保持不變，整個下滑過程中回路中產生的感應電動勢不變，可判斷出在t₁時刻棒剛好進入磁場Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運動，由平衡條件和安培力、歐姆定律、法拉第定律結合求解v；
（2）棒沒進入磁場以前做勻加速直線運動，由牛頓第二定律和運動學公式求出下滑的距離，由于棒進入磁場后產生的感應電動勢不變，由法拉第電磁感應定律求出磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）ab棒進入磁場以前，由焦耳定律求出ab棒產生的焦耳熱．進入磁場Ⅰ的過程中，棒的重力勢能減小轉化為內能，由能量守恒求出ab棒產生的焦耳熱；
（4）根據(jù)圖線寫出I-t′方程式，由歐姆定律I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$，得到速度與時間的表達式，即可求出加速度，由牛頓第二定律得到外力F與時間t的關系式，作出圖象．

解答 解：（1）電流表的示數(shù)不變，說明在整個下滑過程中回路的電動勢是不變的，說明在B變化時和不變時感應電動勢大小一樣，所以可以判斷在t₁時刻棒剛好進入磁場區(qū)域且做勻速直線運動．由平衡條件有：
mgsinθ-BIL=0
由歐姆定律有：$I=\frac{E_1}{R+r}$，E₁=BLV，
代入數(shù)值得：v=2.5m/s
（2）棒沒進入磁場以前做勻加速直線運動，加速度是：a=gsin30°=5m/s²，
棒剛磁場時的速度 v=at₁，
得：t₁=$\frac{v}{a}$=0.5s
下滑的距離是：s₁=$\frac{1}{2}$at₁²=0.625m
在棒沒進入磁場以前，由于B均勻變化，所以有：E₂=$\frac{△B}{△t}Ld$
又 E₁=BLv，E₁=E₂，
代入得 4×1×d=1×1×2.5，
解得：d=0.625m
（3）ab棒進入磁場以前，棒上產生的熱量為：Q₁=I²Rt₁=0.5²×2×0.5J=0.25J
取ab棒在斜軌磁場中運動為研究過程，有：mgd sinθ-Q₂=0
得：Q₂=0.3125J．
此時，棒上產生的熱量是：Q_2r=$\frac{r}{R+r}Q$=0.125J
則棒上產生的總熱量是：Q_r=Q₁+Q_2r=0.375 J
或：Q_r=I²R（t₁+t₂）=0.5²×2×（0.5+0.25）J=0.375J
（4）因為E=BLv，所以剛進水平軌道時時的電動勢是：E=2.5V，I₀=$\frac{BLv}{R+r}$=0.5A
取t₂時刻為零時刻，則根據(jù)圖線可以寫出I-t的方程式：I=0.5-tˊ，I=$\frac{BLv}{R+r}$，
則v=2.5-5 tˊ，所以a₁=5m/s²．
由牛頓第二定律可得：F+BIL=ma₁，F(xiàn)+I=1 F=tˊ
畫在坐標系里．
由丙圖可以同理得出棒運動的加速度大小是：a₂=2.5m/s²，
依據(jù)牛頓定律得：F-BIL=ma₂
取t₃時刻為零時刻，可以寫出t₃時刻后的I與時間的關系式，I=0.5 t，代入上面的式子可以得到F=0.25+0.5t畫在坐標系里．
答：（1）ab棒進入磁場區(qū)I時速度V的大小是2.5m/s；
（2）磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d是0.625m；
（3）棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內ab棒上產生的熱量Q是0.375J；
（4）作出t₂到t₄時間內外力大小F隨時間t變化的函數(shù)圖象如圖所示．

點評 本題關鍵要正確分析導體棒的運動情況，判斷其受力情況，運用法拉第定律、歐姆定律、焦耳定律及力學中牛頓第二定律等等多個知識解答，綜合性很強，同時，考查了運用數(shù)學知識處理物理問題的能力．