Question

9．如圖所示，傾角為θ的光滑傾斜軌道在最底端與一半徑為r的光滑半圓弧軌通過極短的一小段光滑曲軌道平滑連接，使半圓軌道的最高點(diǎn)、圓心、最低點(diǎn)在同一豎直線上，讓一質(zhì)量為m的小球從傾斜軌道上某一位置由靜止釋放
（1）如果小球?qū)�圓弧軌道的最大壓力不能超過7mg，求小球釋放點(diǎn)高度h的范圍？（用r表示）
（2）如果在運(yùn)動(dòng)過程中要求小球不在軌道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間脫離軌道，求小球釋放點(diǎn)高度h的范圍？（用r表示）
（3）試判斷小球有沒有可能垂直落在斜面上，若能，斜面傾角θ具體應(yīng)滿足什么條件？若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力最大，根據(jù)牛頓第二定律求出最低點(diǎn)的最大速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出最大高度．
（2）小球在軌道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間不脫離軌道，一種情況是能夠越過最高點(diǎn)，另一種情況是不越過四分之一軌道，結(jié)合牛頓第二定律和動(dòng)能定理求出釋放點(diǎn)高度的范圍．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系判斷小球能否垂直落在斜面上，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)初速度的條件得出斜面傾角滿足的條件．

解答 解：（1）小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力最大，根據(jù)${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$得小球在最低點(diǎn)的速度為：
v=$\sqrt{6gr}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
解得：h=3r．
可知小球釋放點(diǎn)高度h的范圍為h≤3r．
（2）小球在最高點(diǎn)，根據(jù)mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$得：${v}_{1}=\sqrt{gr}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg（h-2r）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0$，
解得：h=2.5r．
若小球恰好到達(dá)四分之一圓環(huán)軌道處，根據(jù)動(dòng)能定理得：mg（h′-r）=0-0，
解得：h′=r，
可知小球釋放點(diǎn)高度h的范圍為h≥2.5r 或 h≤r．
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和幾何關(guān)系可知，$tanθ=\frac{{v}_{0}}{gt}$，解得：t=$\frac{{v}_{0}}{gtanθ}$，
小球的豎直位移為：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gta{n}^{2}θ}$，
落點(diǎn)到最低點(diǎn)的高度差為x，且x=v₀ttanθ，解得：x=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}$，
由幾何關(guān)系知：x+y=2r，
聯(lián)立解得：${{v}_{0}}^{2}$=$\frac{4grta{n}^{2}θ}{2ta{n}^{2}θ+1}$，
若能垂直落在斜面上，要滿足${{v}_{0}}^{2}$=$\frac{4grta{n}^{2}θ}{2ta{n}^{2}θ+1}$＞gr，該式有解，解得tanθ$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即小球能垂直落在斜面上，斜面傾角應(yīng)滿足tanθ$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
答：（1）如果小球?qū)�圓弧軌道的最大壓力不能超過7mg，小球釋放點(diǎn)高度h的范圍為h≤3r．
（2）如果在運(yùn)動(dòng)過程中要求小球不在軌道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間脫離軌道，小球釋放點(diǎn)高度h的范圍為h≥2.5r 或 h≤r．
（3）能，斜面傾角應(yīng)滿足tanθ$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源和平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．