Question

12．如圖所示，光滑的定滑輪上繞有輕質(zhì)柔軟細(xì)線，線的一端系一質(zhì)量為3m的重物，另一端系一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿．在豎直平面內(nèi)有間距為L的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直，開始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當(dāng)重物下降h時(shí)恰好達(dá)到穩(wěn)定速度而勻速下降（運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，忽略所有摩擦，重力加速度為g）．求：
（1）重物勻速下降的速度v；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）若將重物下降h時(shí)的時(shí)刻記作t=0時(shí)刻，速度記為v₀，從此時(shí)刻起，磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，若此后金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B怎樣隨時(shí)間t變化（寫出B與t的關(guān)系式）

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，受力平衡．推導(dǎo)出安培力，由平衡條件列式求出速度v．
（2）重物從釋放到下降h的過程中，重物的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為桿的重力勢(shì)能和動(dòng)能、重物的動(dòng)能及整個(gè)回路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)串聯(lián)電路電流關(guān)系，求出電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）當(dāng)回路中總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時(shí)棒將導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)磁通量不變，列式求B與t的關(guān)系式．

解答 解：（1）對(duì)金屬棒：受力分析可知T-mg-F=0
式中：$T=3mg\;\;\;\;\;\;\;\;F={B_0}IL=\frac{{{B_0}^2{L^2}v}}{R+r}$
所以：$v=\frac{2mg（R+r）}{{{B_0}^2{L^2}}}$
（2）設(shè)電路中產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，則有能量守恒關(guān)系得減少的重力勢(shì)能等于增加的動(dòng)能和焦耳熱Q；
即：$3mgh-mgh=\frac{1}{2}（3m）{v^2}+\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
所以：電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R為${Q_R}=\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{2mghR}{R+r}-\frac{{8{m^3}{g^2}（R+r）R}}{{{B_0}^4{L^4}}}$
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流，即磁通量不變，所以：hLB₀=（h+h₂）LB_t，式中：${h_2}=\frac{1}{2}a{t^2}$
又：$a=\frac{3mg-mg}{3m+m}=\frac{1}{2}g$
則磁感應(yīng)強(qiáng)度B怎樣隨時(shí)間t變化為  ${B_t}=\frac{{{B_0}h}}{{h+{v_0}t+\frac{g}{4}{t^2}}}$
答：（1）重物勻速下降的速度是$\frac{2mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$；
（2）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{2mghR}{R+r}-\frac{{8{m^3}{g^2}（R+r）R}}{{{B_0}^4{L^4}}}$；
（3）B與t的關(guān)系式為${B_t}=\frac{{{B_0}h}}{{h+{v_0}t+\frac{g}{4}{t^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題分別從力和能量兩個(gè)角度研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，關(guān)鍵是計(jì)算安培力和分析能量如何變化，以及把握沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件．