Question

7．一群螞蟻都從半徑為R的半球形碗底沿碗面向不同方向緩慢向上爬，假定螞蟻與碗之間動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)螞蟻爬到的最高點(diǎn)與球心的連線(xiàn)和豎直方向夾角為α，則下列有關(guān)說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 質(zhì)量小的螞蟻比質(zhì)量大的螞蟻爬的高度大
• B． 螞蟻沿碗跑到的最大高度與路徑有關(guān)，沿曲線(xiàn)爬的更高
• C． 螞蟻沿碗爬到的最大高度相同，且滿(mǎn)足tanα=μ
• D． 螞蟻沿碗爬到的最大高度為R（1-$\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$）

Answer 1

分析 螞蟻緩慢上爬，可以認(rèn)為螞蟻處于平衡狀態(tài)，螞蟻所受的摩擦力為靜摩擦力，越往上爬，所受靜摩擦力越大，抓住最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等求出最高位置與球心連線(xiàn)和豎直方向的夾角．

解答 解：A、因?yàn)槲浵佋诎肭蛐瓮雰?nèi)沿碗面緩慢向上爬，所以可認(rèn)為螞蟻一直處于平衡狀態(tài)，螞蟻受重力mg（豎直向下）、碗的支持力N（指向球心）、靜摩擦力f（沿切面向上）三力的作用．由力的平衡規(guī)律可得N=mgcosα，靜摩擦力f=mgsinα，隨著螞蟻向上爬，α逐漸增大，靜摩擦力f=mgsinα也逐漸增大，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)即爬到最高點(diǎn)，此時(shí)f=mgsinα=μmgcosα，所以tanα=μ，與螞蟻質(zhì)量及運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，故C正確，AB錯(cuò)誤．
D、由幾何關(guān)系可得最大高度為h=R（1-cosθ）=R（1-$\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$），故D正確．
故選：CD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，運(yùn)用共點(diǎn)力平衡進(jìn)行求解，同時(shí)能結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中．