Question

5．如圖所示，傾角為45°的粗糙斜面AB足夠長，其底端與半徑為R=0.4m的兩個光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道BCD的最低點(diǎn)B平滑相接，O為軌道BC圓心，BO為圓弧軌道BC的半徑且為豎直線，A，D兩點(diǎn)等高，在D點(diǎn)右側(cè)有一以v₁=3m/s的速度逆時針轉(zhuǎn)動的傳送帶，傳送帶足夠長，質(zhì)量m=1kg的滑塊P從A點(diǎn)由靜止開始下滑，恰能滑到與O等高的C點(diǎn)，重力加速度g取10m/s²，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2．
（1）求滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ₁
（2）若使滑塊恰能到達(dá)D點(diǎn)，滑塊從離地多高處由靜止開始下滑？
（3）在第（2）問前提下若滑塊滑到D點(diǎn)后水平滑上傳送帶，滑塊返回后最終在斜面上能上升多高，以及此情況下滑塊在傳送帶上產(chǎn)生的熱量Q為多少？

Answer 1

分析 （1）對滑塊從A運(yùn)動到C的過程，運(yùn)用動能定理列式，可求得動摩擦因數(shù)μ₁．
（2）滑塊恰能到達(dá)D點(diǎn)時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度．再由動能定理求滑塊開始滑下時的高度．
（3）由動能定理求出滑塊返回到斜面上上升的最大高度．滑塊在傳送帶上滑動時，由運(yùn)動學(xué)公式求出相對位移，再得到熱量．

解答 解：（1）A到C的過程，由動能定理有：
  mg（2R-R）-μ₁mgcos45°•$\frac{2R}{sin45°}$=0
可得 μ₁=0.5
（2）若滑塊恰能到達(dá)D點(diǎn)，在D點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
   mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，v_D=$\sqrt{gR}$=2m/s
從高度為H的最高點(diǎn)到D點(diǎn)的過程，由動能定理得：
  mg（H-2R）-μ₁mgcos45°•$\frac{H}{sin45°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
解得 H=2m
（3）由于v₁＞v_D，滑塊P返回到D點(diǎn)時的速度大小仍為v_D．
設(shè)滑塊P從D點(diǎn)返回后在斜面上上升的最大高度為h，由動能定理得：
  mg（2R-h）-μ₁mgcos45°•$\frac{h}{sin45°}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得 h=$\frac{2}{3}$m
當(dāng)滑塊P在傳送帶上向右運(yùn)動時，加速度大小為 a=$\frac{μmg}{m}$=μg
滑塊向右運(yùn)動的位移為 s₁=$\frac{{v}_{D}^{2}}{2μg}$=1m，傳送帶的位移為 s₂=v₁t=v₁•$\frac{{v}_{D}}{μg}$=3m
兩者相對位移為△s₁=s₁+s₂=4m
當(dāng)滑塊P在傳送帶上向左運(yùn)動時，兩者相對位移為△s₂=s₂-s₁=2m
產(chǎn)生的熱量為 Q=μmg（△s₁+△s₂）=12J
答：
（1）滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ₁是0.5．
（2）若使滑塊恰能到達(dá)D點(diǎn)，滑塊從離地2m高處由靜止開始下滑．
（3）在第（2）問前提下若滑塊滑到D點(diǎn)后水平滑上傳送帶，滑塊返回后最終在斜面上能上升$\frac{2}{3}$m高，此情況下滑塊在傳送帶上產(chǎn)生的熱量Q為12J．

點(diǎn)評 本題考查了動能定理及牛頓第二定律，在研究傳送帶問題時，要注意傳送帶與滑塊速度間的關(guān)系，從而確定出滑塊的運(yùn)動情況； 注意熱量一般由摩擦力乘以相對位移求出．