Question

10．豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧滑道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示．一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初動(dòng)能E沖上水平滑道AB，沿著軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后停在水平滑道AB的中點(diǎn)．已知水平滑道AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，軌道ABCD的質(zhì)量為3m．求：
（1）小物塊在水平滑道上受到的摩擦力的大�。�
（2）為了保證小物塊不從滑道的D端離開滑道，圓弧滑道的半徑R至少是多大？
（3）若增大小物塊的初動(dòng)能，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到的最大高度是1.5R，試分析小物塊最終能否停在滑道上？

Answer 1

分析 （1）物塊沖上滑道AB后的運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，物塊最終與滑道的速度相同，由動(dòng)量守恒定律求最終速度，系統(tǒng)的動(dòng)能損失等于克服摩擦做功，根據(jù)功能關(guān)系求摩擦力的大�。�
（2）若小物塊剛好到達(dá)D處，此時(shí)它與軌道有共同的速度，此速度與上題最終速度相等，根據(jù)整個(gè)過程功能關(guān)系列式求解；
（3）應(yīng)用動(dòng)能定理分析物塊是否能滑離軌道．

解答 解：（1）小物塊沖上軌道的初速度設(shè)為v₀，
E=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
最終停在AB的中點(diǎn)，跟軌道有相同的速度，設(shè)為v，
在這個(gè)過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以初速度方向?yàn)檎�，有mv₀=（m+M）V
v=$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2E}{m}}$
系統(tǒng)的動(dòng)能損失用于克服摩擦做功，有
△E=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}×（m+3m）{v}^{2}$=$\frac{3}{2}fL$
解得摩擦力 f=$\frac{E}{2L}$
（2）若小物塊剛好到達(dá)D處，此時(shí)它與軌道有共同的速度（與v相等），在此過程中系統(tǒng)總動(dòng)能減少轉(zhuǎn)化內(nèi)能（克服摩擦做功）和物塊的重力勢(shì)能，同理，有
△E₁=-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}×（m+3m）{v}^{2}$=fL+mgR
解得要使物塊不從D點(diǎn)離開滑道，CD圓弧半徑至少為R=$\frac{E}{4mg}$．
（3）從A到最高點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：-μmgL-mg×1.5R=-E′，解得：E′=$\frac{7}{8}E$，物塊滑回C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E_C=1.5mgR=$\frac{3}{8}E$，由于E_C＜μmgL=$\frac{E}{2}$，故物塊將停在滑道上，不會(huì)滑離滑道．
答：（1）小物塊在水平滑道上受到的摩擦力的大小為$\frac{E}{2L}$；
（2）為了保證小物塊不從滑道的D端離開滑道，圓弧滑道的半徑R至少是$\frac{E}{4mg}$；
（3）若增大小物塊的初動(dòng)能，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到的最大高度是1.5R，物塊將停在滑道上，不會(huì)滑離滑道．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的類型，關(guān)鍵要抓住臨界條件，結(jié)合兩大守恒定律進(jìn)行分析．