Question

9．電子感應(yīng)加速器利用變化的磁場來加速電子，電子繞平均半徑為R的環(huán)形軌道（軌道位于真空管道內(nèi)）運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與環(huán)形軌道平面垂直，電子被感應(yīng)電場加速，感應(yīng)電場的方向與環(huán)形軌道相切，電子電荷量為e．
（1）設(shè)電子做圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)形軌道上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的增加率為$\frac{△B}{△t}$，求在環(huán)形軌道切線方向感應(yīng)電場作用在電子上的力；
（2）設(shè)環(huán)形軌道平面上的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的增加率為$\frac{△\overline{B}}{△t}$，試導(dǎo)出在環(huán)形軌道切線方向感應(yīng)電場作用在電子上的力與$\frac{△\overline{B}}{△t}$的關(guān)系；
（3）為了使電子在不斷增強(qiáng)的磁場中沿著半徑不變的圓軌道加速運(yùn)動(dòng)，求$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之間必須滿足的定量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）電子做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式．設(shè)在圓軌道切線方向作用在電子上作用力為F，按照動(dòng)量定理可得 F△t=△（mv），聯(lián)立兩個(gè)方程即可解答．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得到感應(yīng)電動(dòng)勢與磁通量變化率的關(guān)系?=$\frac{△Φ}{△t}$．圓軌道所張的面上的磁通量為Ф=πR²$\overline{B}$．由電動(dòng)勢的定義得到 ?=2πRE，電子在圓軌道切向所受到的力為F=qE，聯(lián)立即可求解．
（3）根據(jù)以上兩式聯(lián)立即可求得$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之間的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓軌道上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B，方向與環(huán)面垂直．由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
設(shè)在圓軌道切線方向作用在電子上作用力為F，按照動(dòng)量定理有：
F△t=△（mv）…②
由①②式得：
F=eR$\frac{△B}{△t}$…③
（2）按照法拉第電磁感應(yīng)定律，在電子運(yùn)動(dòng)的圓軌道上的感應(yīng)電動(dòng)勢為：
?=$\frac{△Φ}{△t}$…④
式中圓軌道所張的面上的磁通量 Ф為：
Ф=πR²$\overline{B}$…⑤
這里，$\overline{B}$為圓軌道所在面上的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度．由④⑤式得：
?=πR²$\frac{△\overline{B}}{△t}$…⑥
考慮電子運(yùn)行一圈感應(yīng)電場所做的功，由電動(dòng)勢的定義可得：
?=2πRE…⑦
電子在圓軌道切向所受到的力為：
F=qE…⑧
由⑥⑦⑧式得：
F=$\frac{1}{2}$eR$\frac{△\overline{B}}{△t}$…⑨
（3）③和⑨式所表示的是同樣的力的大�。�聯(lián)立③⑨式得：
  $\frac{△B}{△t}$=$\frac{1}{2}•\frac{△\overline{B}}{△t}$…⑩
這就是為了使電子在不斷增強(qiáng)的磁場中沿著半徑不變的圓軌道加速運(yùn)動(dòng)$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之間必須滿足的定量關(guān)系．
答：（1）在環(huán)形軌道切線方向感應(yīng)電場作用在電子上的力為eR$\frac{△B}{△t}$．
（2）在環(huán)形軌道切線方向感應(yīng)電場作用在電子上的力與$\frac{△\overline{B}}{△t}$的關(guān)系為F=$\frac{1}{2}$eR$\frac{△\overline{B}}{△t}$．
（3）$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之間必須滿足的定量關(guān)系是$\frac{△B}{△t}$=$\frac{1}{2}•\frac{△\overline{B}}{△t}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要理解電磁感應(yīng)的實(shí)質(zhì)，掌握電磁感應(yīng)的基本規(guī)律：法拉第電磁感應(yīng)定律，明確感應(yīng)電動(dòng)勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系，要有解答綜合題的能力．