Question

14．如圖所示，矩形區(qū)域AA′BB′中存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為0.3T，AA′、BB′為磁場(chǎng)邊界，它們相互平行，矩形區(qū)域的長度足夠長，寬度d=1m．一束帶正電的粒子從AA′上的O點(diǎn)以沿著與AA′成60°角，大小不同的速度射入磁場(chǎng)，當(dāng)粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₀=4×10^-6s，取π≈3，不計(jì)粒子所受重力．
（1）推導(dǎo)帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期公式
（2）求速度v₀的大小（保留2位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 應(yīng)用洛倫茲力提供向心力解出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)關(guān)系式解得速度．
由幾何知識(shí)得到粒子的半徑，再代入半徑公式得到v的大�。�

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
r=$\frac{mv}{qB}$
T=$\frac{2πr}{v}$，將r代入得：T=$\frac{2πm}{qB}$
（2）若粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，則粒子不能從BB′離開磁場(chǎng)區(qū)域，只能從AA′邊離開，無論粒子速度大小，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，軌跡如圖所示（圖中只畫了一個(gè)粒子的軌跡）．

粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角均為φ₁=240°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₀=$\frac{2}{3}$T又 T=$\frac{2πm}{qB}$
當(dāng)粒子速度為v₀時(shí)，粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與BB′邊界相切，此時(shí)有
R₀+R₀sin30°=d
聯(lián)立得：v₀=6.67×10⁵m/s
答：（1）推導(dǎo)帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期公式分別為：r=$\frac{mv}{qB}$，T=$\frac{2πr}{v}$；
（2）速度v₀的大小為6.67×10⁵m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題解題的關(guān)鍵在于畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，分析粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期與磁場(chǎng)變化周期的關(guān)系．粒子圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間往往根據(jù)軌跡的圓心角與周期的關(guān)系確定，t=$\frac{θ}{2π}$T，θ為轉(zhuǎn)過的圓心角．