Question

4．某儀器在地面上受到的重力為160N，將它置于宇宙飛船中，當(dāng)宇宙飛船以a=0.5g的加速度豎直上升到某高度時(shí)儀器所受的支持力為90N．（取地球表面處重力加速度g=10m∕s²，地球半徑R=6400km）求：
（1）此處離地面的高度H；
（2）若衛(wèi)星在此高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求衛(wèi)星運(yùn)行的速度v．

Answer 1

分析 根據(jù)地表處的重力計(jì)算儀器的質(zhì)量，再根據(jù)牛頓第二定律計(jì)算此處的重力加速度．根據(jù)該高度處重力加速度$g′=\frac{GM}{{{{（R+H）}^2}}}$和地表重力加速度$g=\frac{GM}{R^2}$聯(lián)立計(jì)算此處離地面的高度H．根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GmM}{{{{（R+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{（R+H）}$，化簡(jiǎn)可得此處的速度v．

解答 解：（1）由在地表儀器重160N，可知儀器質(zhì)量為：m=16kg
根據(jù)牛頓第二定律，有：F-mg′=ma        
代入數(shù)據(jù)，得：g′=0.625m/s²              
設(shè)此時(shí)飛船離地高度為H，地球質(zhì)量為M，該高度處重力加速度為：
$g′=\frac{GM}{{{{（R+H）}^2}}}$
地表重力加速度為：$g=\frac{GM}{R^2}$
聯(lián)立各式得：H=3R=1.92×10⁷m          
（2）設(shè)該高度有人造衛(wèi)星速度為v，其向心力由萬有引力來提供，有：
$\frac{GmM}{{{{（R+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{（R+H）}$
得：$v=\sqrt{\frac{{g{R^2}}}{R+H}}=3.95km/s≈4.0km/s$
答：（1）此處離地面的高度H為1.92×10⁷m；
（2）若衛(wèi)星在此高度處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求衛(wèi)星運(yùn)行的速度v約為4.0km/s．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握星球表面處的物體受到的重力等于萬有引力，由此可以計(jì)算出重力加速度的表達(dá)式．還要掌握萬有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系，并且要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．