Question

人造地球衛(wèi)星在半徑為r的軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星所受的向心力與軌道半徑r的關(guān)系，下列說法中正確的是（　　）

• A．由

  a3

  T2

  可知，向心力與r²成反比
• B．由

  GM

  4π2

  可知，向心力與r成反比
• C．由M=

  g R 2 1

  G

  可知，向心力與r成正比
• D．由M=

  4π2 r 3 2

  G T 2 2

  可知，向心力與r 無關(guān)

Answer 1

分析：行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為F=m

v2

r

．天文觀測難以直接得到行星運(yùn)動(dòng)的速度v，但是可以得到行星公轉(zhuǎn)的周期T，它們之間的關(guān)系為v=

2πr

T

，把這個(gè)結(jié)果代入上面向心力的表達(dá)式，整理后得到F=

4π2mr

T2

．不同行星公轉(zhuǎn)周期是不同的，F(xiàn)跟r關(guān)系的表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)周期T，所以要設(shè)法消去式中的T．根據(jù)開普勒第三定律

a3

T2

=k，這里的a為r，所以T2=

r3

k

，代入上式便得到F=4π2k?

m

r2

．

解答：解：設(shè)行星的質(zhì)量為m，速度為v，行星到太陽的距離為r，則行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為F=m

v2

r

．
又因?yàn)?span id="y7j0zui" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">v=

2πr

T

，代入上面向心力的表達(dá)式，整理后得到F=

4π2mr

T2

．
根據(jù)開普勒第三定律

a3

T2

=k，這里的a為r，所以T2=

r3

k

，代入上式便得到F=4π2k?

m

r2

故衛(wèi)星所受的向心力與軌道半徑r的平方成反比．
故A正確，BCD錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評：本題是根據(jù)開普勒第三定律推導(dǎo)萬有引力的問題，注意行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為F=m

v2

r

．