Question

12．如圖所示，半徑為R的四分之一圓弧支架，支架底ab離地面距離4R，圓弧邊緣C處有一個(gè)小定滑輪，一輕繩兩端分別系著質(zhì)量為m₁m₂的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），掛在定滑輪兩邊，且m₁大于m₂，開始時(shí)兩物體均靜止．（不計(jì)一切摩擦）求：
（1）m₁經(jīng)過最低點(diǎn)a時(shí)的速度．
（2）若m₁ 經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩斷開，m₁ 落地點(diǎn)離a的水平距離為多少？
（3）為使 m₁ 能到達(dá)a點(diǎn)m₁與m₂之間必須滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）對兩球組成的整體，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，并根據(jù)經(jīng)過最低點(diǎn)a時(shí)兩球沿繩子方向的分速度大小相等，得到它們速度大小的關(guān)系，再進(jìn)行求解；
（2）繩斷開后m₁做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求m₁落地點(diǎn)離a點(diǎn)水平距離S；
（3）當(dāng)m₁經(jīng)過最低點(diǎn)a時(shí)的速度大于等于零時(shí)，m₁ 能到達(dá)a點(diǎn)，由上式結(jié)果分析．

解答 解：（1）如圖將m₁ 的運(yùn)動(dòng)分解，則v₂=v₁sin45°
m₁m₂ 組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則得：
  m₁gR-m₂g•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²
解得：v₁=2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
（2）繩斷后m₁ 做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋時(shí)間為：
t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=2$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
m₁ 落地點(diǎn)離a的水平距離為：S=v₁t=4R$\sqrt{\frac{2（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
（3）為使 m₁ 能到達(dá)a點(diǎn)，必須有：v₁≥0
由v₁=2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$≥0 
可知當(dāng)${m}_{1}≥\sqrt{2}{m}_{2}$時(shí)m₁可到達(dá)a點(diǎn)．
答：（1）m₁經(jīng)過最低點(diǎn)a時(shí)的速度為2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（2）若m₁ 經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)繩斷開，m₁ 落地點(diǎn)離a的水平距離為4R$\sqrt{\frac{2（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（3）為使 m₁ 能到達(dá)a點(diǎn)m₁與m₂之間必須滿足的條件是${m}_{1}≥\sqrt{2}{m}_{2}$．

點(diǎn)評 本題根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒處理連接體問題，也可以根據(jù)動(dòng)能定理求速度，抓住兩球沿繩子方向的分速度相等是解答的關(guān)鍵．