Question

6．如圖所示，有一原長(zhǎng)x=0.5m、勁度系數(shù)k=100N/m的輕質(zhì)彈簧穿過(guò)一光滑金屬桿，彈簧一端固定在金屬桿的一端點(diǎn)O，另一端與穿過(guò)金屬桿的小球相連，小球質(zhì)量m=1kg，整個(gè)裝置在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．
（1）當(dāng)小球在最低點(diǎn)速度v₀=4m/s時(shí)，求彈簧的彈力
（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)速度v₁=1m/s時(shí)，求彈簧的彈力．
（3）若小球在最低點(diǎn)速度為4m/s，一段時(shí)間后小球以v₂=$\sqrt{21}$m/s的速度經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，則在這個(gè)過(guò)程中桿對(duì)系統(tǒng)做了多少功？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，根據(jù)向心力公式可求解形變量，再由胡克定律求解彈力；
（2）在最高點(diǎn)時(shí)要注意明確彈簧的形變方向，再由向心力公式及胡克定律進(jìn)行分析求解．
（3）求最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量，再由功能關(guān)系求桿對(duì)系統(tǒng)做的功．

解答 解：（1）當(dāng)小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，小球受重力和彈簧的拉力，設(shè)彈簧的伸長(zhǎng)量為x₁，則有：
    kx₁-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
而 R=x+x₁
代入解得：x₁=0.3m；R=0.8m
彈力 F=kx₁=100×0.3=30N；
（2）當(dāng)小球通過(guò)最高點(diǎn)速度為1m/s時(shí)，設(shè)形變量為x₂，則有：
  kx₂+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$；
又 R′=x+x₂；
代入解得：x₂為負(fù)值，說(shuō)明彈簧不能伸長(zhǎng)，只能壓縮，故彈簧彈力應(yīng)豎直向上；
則有：mg-kx₂=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$；
又 R′=x-x₂；
代入解得：x₂=0.076m；
則彈簧的彈力為 F=Kx₂=100×0.076=7.6N；
（3）設(shè)小球以v₂=$\sqrt{21}$m/s的速度經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量為x₃．
根據(jù)牛頓第二定律有
   kx₃+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R″}$；
又 R″=x+x₃；
聯(lián)立解得 x₃=0.2m，R″=x+x₃=0.7m
由功能關(guān)系可得：
桿對(duì)系統(tǒng)做功 W=mg（R+R″）+（$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$）-（$\frac{1}{2}k{x}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$）
代入數(shù)據(jù)解得 W=15J
答：
（1）彈力為30N；方向向上．
（2）彈力為7.6N，方向向下．
（3）在這個(gè)過(guò)程中桿對(duì)系統(tǒng)做了15J的功．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向心力公式及胡克定律，解題中一定要注意明確彈簧的總長(zhǎng)度是變化的，小球轉(zhuǎn)動(dòng)半徑是不同的．