Question

（20分）內半徑為R的直立圓柱器皿內盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋轉（水銀不溢，皿底不露），穩(wěn)定后的液面為旋轉拋物面。若取坐標原點在拋物面的最低點，縱坐標軸z與圓柱器皿的軸線重合，橫坐標軸r與z軸垂直，則液面的方程為，式中ω為旋轉角速度，g為重力加速度（當代已使用大面積的此類旋轉水銀液面作反射式天文望遠鏡）。

觀察者的眼睛位于拋物面最低點正上方某處，保持位置不變，然后使容器停轉，待液面靜止后，發(fā)現與穩(wěn)定旋轉時相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都無變化。求人眼位置至穩(wěn)定旋轉水銀面最低點的距離。

Answer 1

解析：

旋轉拋物面對平行于對稱軸的光線嚴格聚焦，此拋物凹面鏡的焦距為

．                                                    (1)

由(1)式，旋轉拋物面方程可表示為

．                                                       (2)

停轉后液面水平靜止。由液體不可壓縮性，知液面上升。以下求拋物液面最低點上升的高度。

拋物液面最低點以上的水銀，在半徑、高的圓柱形中占據體積為的部分，即附圖中左圖陰影部分繞軸線旋轉所得的回轉體；其余體積為的部分無水銀。體在高度處的水平截面為圓環(huán)，利用拋物面方程，得處圓環(huán)面積

．            (3)

將體倒置，得附圖中圖陰影部分繞軸線旋轉所得的回轉體，相應拋物面方程變?yōu)?/p>

   

，                                                 (4)

其高度處的水平截面為圓面，面積為

．          (5)

由此可知

，                            (6)

即停轉后拋物液面最低點上升

．                                             (7)

因拋物鏡在其軸線附近的一塊小面積可視為凹球面鏡，拋物鏡的焦點就是球面鏡的焦點，故可用球面鏡的公式來處理問題.兩次觀察所見到的眼睛的像分別經凹面鏡與平面鏡反射而成，而先后看到的像的大小、正倒無變化，這就要求兩像對眼睛所張的視角相同．設眼長為．凹面鏡成像時，物距即所求距離，像距v與像長分別為

，                                                    (8)

．                                (9)

平面鏡成像時，由于拋物液面最低點上升，物距為

，                                    (10)

像距與像長分別為

，                                                      (11)

．                                       (12)

兩像視角相同要求

，                                           (13)

即

，                          (14)

此處利用了(8)―(12)諸式．由(14)式可解得所求距離

．                                                        (15)

評分標準：本題20分.

   (1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分。