Question

18．美國宇航局于北京時間2015年9月28號晚間23時30分宣布有關(guān)火星探索的重要發(fā)現(xiàn)---火星上存在液態(tài)水的“強有力”證據(jù)，荷蘭一家名為“火星一號”的公司計劃在2023年把4名宇航員送上火星，假設(shè)宇航員登陸火星后，測得火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$．已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，宇航員在地面上能向上跳起的最大高度為h，忽略自轉(zhuǎn)的影響，下列說法正確的是（　　）

• A． 火星的密度為$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度為$\frac{4}{9}g$
• C． 火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度的比值為$\frac{2}{3}$
• D． 宇航員在火星上跳起后，能到達的最大高度為$\frac{9}{8}$h

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力得出地球的質(zhì)量，從而求出地球的密度，結(jié)合火星半徑和地球半徑的關(guān)系，以及質(zhì)量關(guān)系求出火星的密度；
根據(jù)萬有引力等于重力求出火星表面的重力加速度；
根據(jù)萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表達式，從而得出第一宇宙速度之比；
根據(jù)表面的重力加速度之比，結(jié)合速度位移公式求出上升的最大高度關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)G$\frac{{M}_{地}m}{{R}^{2}}$=mg得，地球的質(zhì)量M_地=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，地球的密度ρ=$\frac{{M}_{地}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πg(shù)R}$，因為火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，則體積是地球的$\frac{1}{8}$，火星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星的密度是地球密度的$\frac{8}{9}$，即為ρ_火=$\frac{2g}{3πGR}$，故A正確；
B、根據(jù)g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$知，火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，即為g_火=$\frac{4}{9}$g，故B正確；
C、根據(jù)G$\frac{GM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，故C錯誤；
D、火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，根據(jù)h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$知，上升的最大高度為$\frac{9}{4}$h，故D錯誤．
故選：AB．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．