Question

3．如圖所示，半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道豎直放置，下端與水平地面在P點相切，水平地面上的Q點固定有輕彈簧，B點為彈簧處于原長時的左端點．一質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點）從$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道的最高點A由靜止開始下滑，向右運動壓縮彈簧后被彈簧彈回．已知P、B兩點間的距離為L，物塊與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，彈簧獲得的最大彈性勢能為E_p，重力加速度為g．

（1）求物塊下滑到P點時對軌道的壓力大�。�
（2）求彈簧的最大壓縮量d．
（3）若物塊與彈簧發(fā)生一次相互作用被彈回后停止在P、B兩點間的某處，試求物塊在水平地面上停止的位置與P點距離的可能值．

Answer 1

分析 （1）物塊從A運動P的過程中，只有重力做功，物塊的機械守恒，由機械能守恒定律求出物塊到達P點時的速度大�。�物塊經(jīng)過P點時，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓運動定律求出物塊對軌道的壓力大小；
（2）從A到彈簧壓縮量最大的過程，由能量守恒定律求解彈簧的最大壓縮量d；
（3）物塊與彈簧發(fā)生一次相互作用被彈回后停止在P、B兩點間的某處，可能被彈回直接停在PB之間，也可能先滑上PA圓弧軌道，再滑下停在PB之間．由能量守恒求解．

解答 解：（1）物塊從A至P的過程中，由機械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_P²
在P點時，對物塊，由牛頓第二定律有：
N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
解得：N=3mg，由牛頓第三定律可知，物塊對軌道的壓力：N′=N=3mg；
（2）從A到彈簧壓縮量最大的過程，由能量守恒定律得：
mgR=E_p+μmg（L+d）
解得：d=$\frac{mgR-{E}_{p}}{μmg}$-L
（3）設物塊在水平地面上停止的位置與P點距離為x．若物塊被彈回直接停在PB之間，對彈回過程，由能量守恒得：
E_p=μmg（d+x）
解得：x=$\frac{{E}_{p}}{μmg}$-d=L-$\frac{2{E}_{p}-mgR}{μmg}$
若先滑上PA圓弧軌道，再滑下停在PB之間，根據(jù)能量守恒定律得：
E_p=μmg（2L-x+d）
解得：x=$\frac{2{E}_{p}-mgR}{μmg}$-L
答：（1）物塊下滑到P點時對軌道的壓力大小是3mg．
（2）彈簧的最大壓縮量d是$\frac{mgR-{E}_{p}}{μmg}$-L．
（3）物塊在水平地面上停止的位置與P點距離的可能值為L-$\frac{2{E}_{p}-mgR}{μmg}$或$\frac{2{E}_{p}-mgR}{μmg}$-L．

點評 本題首先要分析物理過程，確定研究對象，其次要把握解題的規(guī)律，運用機械能守恒、牛頓運動定律和能量守恒結合研究．