Question

如圖所示，由A、B兩平行金屬板構(gòu)成的電容器放置在真空中，電容為C，原來不帶電．電容器的A板接地，并且中心有一個(gè)小孔，通過這個(gè)小孔向電容器中射入電子，射入的方向垂直于極板，射入的速度為v₀，如果電子的發(fā)射是一個(gè)一個(gè)單獨(dú)進(jìn)行的，即第一個(gè)電子到達(dá)B板后再發(fā)射第二個(gè)電子，并且所有到達(dá)板的電子都留在B板上．隨著電子的射入，兩極板間的電勢(shì)差逐漸增加，直至達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值，已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，電子所受的重力忽略不計(jì)，兩板的距離為l．
（1）當(dāng)板上聚集了n個(gè)射來的電子時(shí)，兩板間電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E多大？
（2）最多能有多少個(gè)電子到達(dá)B板？
（3）到達(dá)B板的第一個(gè)電子在兩板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和最后一個(gè)電子在兩板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相差多少？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)B板吸收了N個(gè)電子時(shí)電容器所帶電荷量為Q=Ne，由電容的定義式C=

Q

U

求電勢(shì)差，由E=

U

d

求出場(chǎng)強(qiáng)E．．
（2）電子經(jīng)過U₀的電壓加速后，進(jìn)入A、B板間的動(dòng)能為eU₀，進(jìn)入A、B板間電場(chǎng)后做減速運(yùn)動(dòng)．隨著B板電荷增加，電子在A、B間的加速度越來越大，直至電子到達(dá)B板的速度為零，此時(shí)A、B板間的電壓達(dá)到最大值U_m根據(jù)動(dòng)能定理求解．
（3）第一個(gè)電子在兩板間作勻速運(yùn)動(dòng)，最后一個(gè)電子在兩板間作勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B板時(shí)速度為零，由運(yùn)動(dòng)學(xué)求解時(shí)間差．

解答：解：（1）當(dāng)B板上聚集了n個(gè)射來的電子時(shí)，兩板間的電勢(shì)差為：
  U=

Q

C

=

ne

C

內(nèi)部電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為：
 E=

U

l

=

ne

Cl

（2）設(shè)最多能聚集N+1個(gè)電子，第N+1個(gè)射入的電子到達(dá)B板時(shí)速度減為零．此時(shí)兩板間的電勢(shì)差為：
  U₁=

Q1

C

=

Ne

C

對(duì)此后再射入的電子，根據(jù)動(dòng)能定理有
-eU₁=0-

1

2

mv

2 0

聯(lián)立解得：N=

Cm v 2 0

2e2

 
故最多能到達(dá)B板的電子數(shù)為N_m=N+1=

Cm v 2 0

2e2

+1
（3）第一個(gè)電子在兩板間作勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
  t₁=

l

v0

最后一個(gè)電子在兩板間作勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B板時(shí)速度為零，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t₂=

l

. v

=

2l

v0

二者時(shí)間差為：
△t=t₂-t₁=

l

v0

．
答：
（1）當(dāng)板上聚集了n個(gè)射來的電子時(shí)，兩板間電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為

ne

Cl

．
（2）最多能有

Cm v 2 0

2e2

+1個(gè)電子到達(dá)B板．
（3）到達(dá)B板的第一個(gè)電子在兩板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和最后一個(gè)電子在兩板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相差為

l

v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在電場(chǎng)中直線加速和減速與電容器有關(guān)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要掌握電容的定義式C=

Q

U

，并運(yùn)用動(dòng)能定理求解．