Question

6．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向，O點(diǎn)上方有一曲面，其方程為y=x²（數(shù)值關(guān)系）．一根長為l=1m的輕繩一端固定在A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量m=1.2kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．將小球拉至水平位置B由靜止釋放，小球沿圓周運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)恰好被切斷，之后落到曲面上的D點(diǎn)．已知A、O兩點(diǎn)的高度差為h=2m，忽略空氣阻力，取g=10m/s²．求：
（1）小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到曲面上D點(diǎn)的時(shí)間t；
（2）若保持A點(diǎn)位置不變，改變繩長l（0＜l＜h），同樣將小球拉至水平位置由靜止釋放，假設(shè)小球通過y軸時(shí)輕繩恰好被切斷，分析繩長l多大時(shí)，小球落到曲面時(shí)動(dòng)能E_k最小，運(yùn)能的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）繩子斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）小球運(yùn)動(dòng)過程機(jī)械能守恒，繩子斷裂后做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出動(dòng)能的表達(dá)式，然后求出動(dòng)能的最小值．

解答 解：（1）小球從B運(yùn)動(dòng)到C過程機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：mgl=$\frac{1}{2}$mv²，代入數(shù)據(jù)解得：v=2$\sqrt{5}$m/s，
繩被拉斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：x=vt，豎直方向：y′=$\frac{1}{2}$gt²，
y=1-y′，由題意可知：y=x²，
代入數(shù)據(jù)解得：t=0.2s；
（2）小球從B運(yùn)動(dòng)到C過程機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：mgl=$\frac{1}{2}$mv²，
繩被拉斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：x=vt，豎直方向：y′=$\frac{1}{2}$gt²，
y=h-l-y′，由題意可知：y=x²，
解得：y=$\frac{4l（2-l）}{4l+1}$
從B到小球落到曲面上整個(gè)過程中，
由動(dòng)能定理得：mg（h-y）=E_K，
解得：E_K=$\frac{24（2{l}^{2}+1）}{4l+1}$，
由于：$\frac{2{l}^{2}+1}{4l+1}$=$\frac{4l+1}{8}$+$\frac{9}{8（4l+1）}$-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)$\frac{4l+1}{8}$=$\frac{9}{8（4l+1）}$，即：l=0.5時(shí)，$\frac{2{l}^{2}+1}{4l+1}$有最小值，最小值為0.5，
則當(dāng)繩長l=0.5m時(shí)，小球落到曲面上時(shí)的動(dòng)能最小，代入數(shù)據(jù)解得，最小值：E_Kmin=12J；
答：（1）小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到曲面上D點(diǎn)的時(shí)間t為0.2s；
（2）當(dāng)繩長l為0.5m時(shí)，小球落到曲面時(shí)動(dòng)能E_k最小，運(yùn)能的最小值是12J．

點(diǎn)評 本題考查了求小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間、小球的最小動(dòng)能，分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．