Question

17．如圖所示，一個很長的豎直放置的圓柱形磁鐵，在其外部產(chǎn)生一個由中心輻射的磁場（磁場水平向外），其大小為B=$\frac{k}{r}$（其中r為輻射半徑--考察點(diǎn)到圓柱形磁鐵中心軸線的距離，k為常數(shù)）．在圓柱形磁鐵的外部，水平放置一個帶有電路結(jié)構(gòu)的與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，鋁環(huán)上a、b兩點(diǎn)間的電路結(jié)構(gòu)如圖所示．開關(guān)S可通過搖控器能分別與接線柱“1”、“2”或“3”接通．電源的內(nèi)阻為R，定值電阻為R₀，電容器的電容為C．為便于計(jì)算，我們假設(shè)：a、b間電路結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與等長鋁線的質(zhì)量相等．a(chǎn)、b間的長度很小，下落時鋁環(huán)平面始終水平．鋁線電阻、空氣阻力、開關(guān)撥動時間均不計(jì)．已知鋁環(huán)半徑為r₀（大于圓柱形磁鐵的半徑），單位長度的鋁線質(zhì)量為m₀．當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度為g．則：
（1）當(dāng)開關(guān)S接“1”時，若鋁環(huán)恰能靜止，求電源的電動勢是多大．
（2）開關(guān)S撥向“2”，鋁環(huán)開始下落．下落一段距離后達(dá)到穩(wěn)定速度v₀，則v₀的大小為多少？
（3）接第（2）問，當(dāng)鋁環(huán)的速度達(dá)到v₀后，把開關(guān)從“2”撥到“3”，試通過推導(dǎo)說明鋁環(huán)此后的運(yùn)動性質(zhì)，并求鋁環(huán)再下降距離h時，電容器儲存的電能有多少？（設(shè)電容器不漏電，且耐壓值足夠，不會被擊穿）．

Answer 1

分析 （1）開關(guān)接1時，鋁環(huán)受重力與安培力作用而靜止，由安培力公式求出安培力，由平衡條件其次電動勢．
（2）鋁環(huán)勻速運(yùn)動時達(dá)到穩(wěn)定，由安培力求出安培力，由平衡條件求出穩(wěn)定時的速度．
（3）由牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)加速度判斷運(yùn)動性質(zhì)，應(yīng)用運(yùn)動學(xué)公式與能量守恒定律求出電熱器儲存的電能．

解答 解：（1）開關(guān)接1時，鋁環(huán)受到重力與豎直向上的安培力作用，鋁環(huán)能靜止，
安培力：F=BIL=B×$\frac{E}{R}$×2πr₀，
鋁環(huán)的重力：G=mg=2πr₀m₀g，
由平衡條件得：F=G，
解得：E=$\frac{{m}_{0}gR}{B}$；
（2）開關(guān)接2時，鋁環(huán)做在重力作用下下落，切割磁感線產(chǎn)生電動勢，鋁環(huán)受到磁場力作用，鋁環(huán)先做加速度減小的加速運(yùn)動，最后做勻速運(yùn)動，勻速運(yùn)動時速度最大，達(dá)到穩(wěn)定，此時安培力為：
F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}}$=$\frac{{B}^{2}（2π{r}_{0}）^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}}$，
鋁環(huán)勻速運(yùn)動，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得：
$\frac{{B}^{2}（2π{r}_{0}）^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}}$=2πr₀m₀g，
解得：v₀=$\frac{{m}_{0}g{R}_{0}}{2π{r}_{0}{B}^{2}}$；
（3）開關(guān)接3時，充電電流：I=$\frac{△q}{△t}$=$\frac{C△U}{△t}$=$\frac{CBL△v}{△t}$=$\frac{2π{r}_{0}CB△v}{△t}$=2πr₀CBa，
由牛頓第二定律得：mg-BIL=ma，
解得：a=$\frac{{m}_{0}g}{{m}_{0}+2π{r}_{0}C{B}^{2}}$，加速度a是常數(shù)，
鋁環(huán)做勻加速直線運(yùn)動，電路電流恒定，
鋁環(huán)下降h時，速度為v，由速度位移公式得：v²-v₀²=2ah，
由能量守恒定律得：△E=mgh-（$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²），
解得：△E=$\frac{4{π}^{2}{r}_{0}^{2}C{B}^{2}{m}_{0}g}{{m}_{0}+2π{r}_{0}C{B}^{2}}$；
答：（1）當(dāng)開關(guān)S接“1”時，鋁環(huán)恰能靜止，電源的電動勢為$\frac{{m}_{0}gR}{B}$；
（2）開關(guān)S撥向“2”，鋁環(huán)開始下落．下落一段距離后達(dá)到穩(wěn)定速度v₀，則v₀的大小為$\frac{{m}_{0}g{R}_{0}}{2π{r}_{0}{B}^{2}}$；
（3）鋁環(huán)此后做勻加速直線運(yùn)動，鋁環(huán)再下降距離h時，電容器儲存的電能為$\frac{4{π}^{2}{r}_{0}^{2}C{B}^{2}{m}_{0}g}{{m}_{0}+2π{r}_{0}C{B}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了求電動勢、速度與電能問題，本題是電磁感應(yīng)、電路與力學(xué)相結(jié)合的綜合題，難度較大，分析清楚電路結(jié)構(gòu)、分析清楚鋁環(huán)的運(yùn)動性質(zhì)，應(yīng)用E=BLv、歐姆定律、安培力公式、平衡條件等可以解題．