Question

如圖甲所示，質(zhì)量為m=0.5kg、電阻r=1Ω的跨接桿ab可以無摩擦地沿水平固定導(dǎo)軌滑行，導(dǎo)軌足夠長，兩導(dǎo)軌間寬度為L=1m，導(dǎo)軌電阻不計，電阻R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T．桿從x軸原點(diǎn)O以水平初速度向右滑行，直到停止．已知桿在整個運(yùn)動過程中v隨位移x變化的關(guān)系如圖乙所示．求：
（1）在桿的整個運(yùn)動過程中，電流對電阻R₁做的功，
（2）在桿的整個運(yùn)動過程中，通過電阻R₁的電量，
（3）要使R₁產(chǎn)生1J的熱量，桿需向右移動的距離及此時R₁的功率．

Answer 1

（1）設(shè)整個電路中電流做功為W，則根據(jù)功能關(guān)系得
   W=

1

2

m

v

20

=

1

2

×0.5×42J=4J
設(shè)桿中瞬時電流為I，則電流對桿做功W_ab=I²rt，
電流對R₁做功W₁=I₁²R₁t，電流對R₂做功W₂=I₂²R₂t，
由于

I1

I2

=

R2

R1

=2，則I1=

2

3

I，I₂=

1

3

I
又r=1Ω，R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，得W_ab=1.5W₁，W₂=0.5W₁，
∵W=W_ab+W₁+W₂=3W₁，
∴W₁=

1

3

W=

4

3

J
（2）根據(jù)

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

r+ R1R2 R1+R2

，q=

.

I

?△t，△Φ=BLx
聯(lián)立得，通過桿的電量q=

BLx

r+ R1R2 R1+R2

代入解得，q=2C
由于R₁與R₂并聯(lián)，電流與電阻成反比，而電量q=It，則得
通過電阻R₁的電量q₁=

R2

R1+R2

q=

4

3

C
（3）要使R₁產(chǎn)生1J的熱量，由上題電功關(guān)系可知，R₁產(chǎn)生0.5J的熱量，桿產(chǎn)生的熱量為1.5J，電路中產(chǎn)生的總熱量為Q=1J+0.5J+1.5J=3J
設(shè)此時桿的速度為v，由能量守恒得
   Q+

1

2

mv2=

1

2

m

v

20

，
解得v=2m/s
由圖知，桿需向右移動的距離x=1m
此時桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=BLv=2V，干路中電流為I=

E

R

=1A
則I1=

2

3

I=

2

3

A
此時R₁的功率為P=

I

21

R1=

2

3

W
答：
（1）在桿的整個運(yùn)動過程中，電流對電阻R₁做的功為

4

3

J，
（2）在桿的整個運(yùn)動過程中，通過電阻R₁的電量為

4

3

C，
（3）要使R₁產(chǎn)生1J的熱量，桿需向右移動的距離為2m，此時R₁的功率為

2

3

W．