Question

【題目】如圖所示，質(zhì)量為M、傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長度為l的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為3l/4時(shí)將物塊由靜止開始釋放，物塊在斜面上做簡諧運(yùn)動(dòng)且物塊在以后的運(yùn)動(dòng)中，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的伸長量；

（2）求物塊的振幅和彈簧的最大伸長量；

（3）使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足什么條件（假設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力）？

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】（1）設(shè)物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的伸長量為Δl，則

解得

（2）物塊做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為

由簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，彈簧的最大伸長量為:

（3）以物塊的平衡位置為原點(diǎn)、沿斜面向下為位移正方向建立坐標(biāo)系，設(shè)某時(shí)刻物塊位移x為正，斜面受到彈簧沿斜面向下的拉力F、地面的水平向右的摩擦力f，如圖所示。

由于斜面受力平衡，則有

在水平方向上有： ；

在豎直方向上有：

又 ，

聯(lián)立可得 ，

為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，結(jié)合牛頓第三定律，應(yīng)滿足

所以

因-A≤x≤A，所以當(dāng)-A時(shí)，上式右端達(dá)到最大值，于是有

【另解】 對(duì)由斜面、物塊、彈簧組成的系統(tǒng)受力分析，受重力（M＋m）g、地面的支持力N和水平方向的靜摩擦力f作用，如圖所示。

建立圖示直角坐標(biāo)系，根據(jù)牛頓第二定律可知：

在水平方向上有：f=M×0＋macosα；

在豎直方向上有：N－（M＋m）g=M×0＋masinα

其中，靜摩擦力f≤fm＝μN(yùn)，

又因彈簧振子有kx=-ma且－A≤x≤A，

聯(lián)立以上各式，解得： .