Question

15．在豎直平面內(nèi)有一個光滑的半圓軌道，軌道兩端連線即直徑在豎直方向，軌道半徑為0.9m，一個質量為0.5kg的小球以一定的初速度滾上軌道（g取10m/s²，結果保留一位小數(shù)）求：
（1）小球在最高點不脫離軌道的最小速率是多少？
（2）小球在最高點速率v=4m/s時，小球對軌道的壓力是多少？
（3）小球以v=8m/s的速率從最高點離開軌道，落地時的速度大小是多少？方向如何？

Answer 1

分析 （1）在最高點小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運動所需要的向心力，由牛頓第二定律列式求解最小速度．
（2）由牛頓第二定律列式求解軌道對小球的壓力，進而求解小球對軌道的壓力
（3）從最高點離開軌道，做平拋運動，由運動分解與合成的知識求解．

解答 解：（1）在最高點小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運動所需要的向心力
即mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$
則所求的最小速率v_min=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s
（2）因為v=4m/s＞v_min，所以軌道對小球有一定的壓力F
則 F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
所以 F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$-mg=0.5×$\frac{{4}^{2}}{0.9}$-5≈3.9N
由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力F′=F=3.9N
（3）小球以v=8m/s的速率從最高點離開軌道后做平拋運動，則
 2r=$\frac{1}{2}$gt²
所以t=2$\sqrt{\frac{r}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{0.9}{10}}$=0.6s
落地時豎直方向分速度 v_y=gt=6m/s
合速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10m/s
設落地速度與水平方向的夾角為θ
則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{8}$=0.75，則θ=37°
答：
（1）小球在最高點不脫離軌道的最小速率是3m/s
（2）小球對軌道的壓力是3.9N
（3）落地時的速度大小是10m/s，方向與水平方向的夾角為37°．

點評 本題主要考查了向心力公式及平拋運動基本公式的直接應用．要掌握豎直平面內(nèi)圓周運動臨界條件：重力充當向心力，得到最小速度為$\sqrt{gr}$．