Question

6．如圖所示，一個(gè)帶正電的粒子沿磁場(chǎng)邊界從A點(diǎn)射入左側(cè)磁場(chǎng)，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，其中區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)是垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左邊區(qū)域足夠大，右邊區(qū)域?qū)挾葹?.3d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，區(qū)域Ⅱ是兩磁場(chǎng)間的無場(chǎng)區(qū)，兩條豎直虛線是其邊界線，寬度為d；粒子從左邊界線A點(diǎn)射入磁場(chǎng)后，經(jīng)過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后能回到A點(diǎn)，若粒子在左側(cè)磁場(chǎng)中的半徑為d，整個(gè)裝置在真空中，不計(jì)粒子的重力．
（1）分析粒子從A點(diǎn)射入方向？
（2）求粒子從A點(diǎn)射出到回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t；
（2）若其他條件不變，若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍能回到A點(diǎn)，求電場(chǎng)強(qiáng)度E大小應(yīng)滿足的條件？

Answer 1

分析 （1）關(guān)于粒子入射方向的判定，涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多，根據(jù)左手定則粒子順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以假設(shè)以任意角入射，劃過一道圓弧后豎直向上偏離一定的距離，進(jìn)入Ⅱ區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)也向上偏離一定的距離，進(jìn)入Ⅲ區(qū)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，就要豎直向下偏離一定的距離，離開Ⅲ再進(jìn)入Ⅱ區(qū)時(shí)要豎直向上偏離，即三次向上，一次向下，對(duì)比向上和向下的總距離就可以知道偏離的總距離，只有總距離為零，才能回到A點(diǎn)．要注意的是由對(duì)稱性進(jìn)入和離開磁場(chǎng)時(shí)與邊界的夾角均相同，總距離也不難求出．
（2）由（1）的結(jié)論，只有垂直入射才能回到A點(diǎn)．在兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)的總時(shí)間恰恰為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期，由洛侖茲力提供向心力和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式能求出在磁場(chǎng)中的時(shí)間．在Ⅱ區(qū)內(nèi)兩次做勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間也能求出．
（3）若在Ⅱ區(qū)內(nèi)加水平向的電場(chǎng)，則粒子進(jìn)入后將加速，速度越大，進(jìn)入Ⅲ區(qū)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也越大，最大半徑為1.3d，所以最大速度也能求出，從而求出在Ⅱ區(qū)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的最大值．

解答 解：（1）若粒子入射與邊界向上的夾角為任意角α，如圖所示是粒子在三個(gè)區(qū)域的軌跡，
則粒子在Ⅰ區(qū)的軌跡是一段半徑為R的圓弧，由幾何關(guān)系在Ⅱ區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)后向上偏離：
x₁=dcotα+2Rcosα．
進(jìn)入Ⅲ區(qū)后的運(yùn)動(dòng)軌跡也是半徑為R的一段劣弧，第二次進(jìn)入Ⅱ區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)向上偏離的距離：
x₂=2Rsinα-dcotα．
要使粒子能回到A點(diǎn)，則x₁=x₂，由此得到只有：
cotα=0，則α=90°．
 
（2）由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$       ①
$T=\frac{2πR}{v}$         ②
所以粒子在三個(gè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：
${t=t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{1}{2}T+2×\fracusgyage{{v}_{0}}+\frac{1}{2}T=\frac{2πm}{qB}+\frac{2d}{{v}_{0}}$
（3）粒子垂直進(jìn)入Ⅱ區(qū)后經(jīng)過電場(chǎng)加速，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)以v的速度進(jìn)入Ⅲ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，由幾何關(guān)系：
R≤1.3d             ④
在電場(chǎng)中加速時(shí)據(jù)運(yùn)動(dòng)定理：
$Edq=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$     ⑤
聯(lián)立以上①④⑤得：E≤$\frac{1.69{B}^{2}{q}^{2}wkqceiw^{2}-{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2qdm}$
答：（1）粒子從A點(diǎn)射入方向應(yīng)該垂直于邊界．
（2）粒子從A點(diǎn)射出到回到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{2πm}{qB}+\frac{2d}{{v}_{0}}$．
（3）若其他條件不變，若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍能回到A點(diǎn)，則電場(chǎng)強(qiáng)度E≤$\frac{1.69{B}^{2}{q}^{2}e24ouk4^{2}-{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2qdm}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在第（1）問，從經(jīng)驗(yàn)上看若不是垂直入射，則肯定不能回到A點(diǎn)，但從理論上推斷是否能回到A點(diǎn)，還需要從數(shù)學(xué)的角度求出向上和向下偏離的距離；另外還需要說明的是本題從頭到尾沒有告訴速度，粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求不出來，所以本題差一條件，根據(jù)推斷應(yīng)該差的是初速度，所以解題時(shí)設(shè)初速度是已知的．