Question

15．嘉年華上有一種回力球游戲，如圖所示，A、B分別為一固定在豎直平面內(nèi)的光滑半圓形軌道的最高點和最低點，B點距水平地面的高度為h，某人在水平地面C點處以某一初速度拋出一個質(zhì)量為 m的小球，小球恰好水平進入半圓軌道內(nèi)側的最低點B，并恰好能過最高點A后水平拋出，又恰好回到C點拋球人手中．若不計空氣阻力，已知當?shù)刂亓�加速度為g，求：
（1）小球剛進入半圓形軌道最低點B時軌道對小球的支持力；
（2）半圓形軌道的半徑；
（3）小球拋出時的初速度大小．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通過最高點A，根據(jù)牛頓第二定律求出在A點的速度，根據(jù)動能定理求出B點的速度，結合牛頓第二定律求出支持力的大�。�
（2）C到B的逆過程為平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，抓住A到C和C到B的水平位移相等，求出半圓形軌道的半徑．
（3）對C到B的過程運用動能定理，求出拋出時的初速度大小．

解答 解：（1）設半圓形軌道的半徑為R，小球經(jīng)過A點時的速度為v_A，小球經(jīng)過B點時的速度為v_B，小球經(jīng)過B點時軌道對小球的支持力為N．
在A點：mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{A}=\sqrt{gR}$，
從B點到A點的過程中，根據(jù)動能定理有：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
在B點：N-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：N=6mg，方向為豎直向上．
（2）C到B的逆過程為平拋運動，有：h=$\frac{1}{2}g{{t}_{BC}}^{2}$，
A到C的過程，有：$h+2R=\frac{1}{2}g{{t}_{AC}}^{2}$，
又v_Bt_BC=v_At_AC，
解得：R=2h．
（3）設小球拋出時的初速度大小為v₀，從C到B的過程中，根據(jù)動能定理有：
$-mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{12gh}$．
答：（1）小球剛進入半圓形軌道最低點B時軌道對小球的支持力為6mg；
（2）半圓形軌道的半徑為2h；
（3）小球拋出時的初速度大小為$\sqrt{12gh}$．

點評 本題考查了動能定理、牛頓定律與平拋運動和圓周運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．