Question

3．某同學設(shè)計了如圖所示的趣味實驗來研究碰撞問題，用材料和長度相同的不可伸長的輕繩依次將5個大小相同、質(zhì)量不等的小球懸掛于水平天花板下方，且相鄰的小球靜止時彼此接觸但無相互作用力，小球編號從左到右依次為1、2、3、4、5，每個小球的質(zhì)量為其相鄰左邊小球質(zhì)量的k倍，k=$\sqrt{2}$-1，所有小球的球心等高．現(xiàn)將1號小球由最低點向左拉起高度h，保持繩繃緊狀態(tài)由靜止釋放1號小球，使其與2號小球碰撞，2號小球再與3號小球碰撞…．所有碰撞均為在同一直線上的正碰且無機械能損失．已知重力加速度為g，空氣阻力、小球每次碰撞時間均可忽略不計．
（1）求1號小球與2號小球碰撞之前的速度v₁的大��；
（2）求第5個球被第4個小球碰后的速度；
（3）擺線長為L=16h，在第5個球右側(cè)偏離豎直方向成θ=60°角的虛線上的A點釘了一個釘子，則A距懸點的距離與L的比例系數(shù)p滿足什么條件時，第5個小球能繞A點做完整的圓周運動．

Answer 1

分析 （1）對于1號小球由h高運動到最低點過程，根據(jù)機械能守恒求出碰前的速度v₁．
（2）、對于1、2號小球碰撞的過程根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒列出等式，得到碰后兩球的速度．對于2、3號小球碰撞的過程，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒列式，得到碰后兩球的速度，總結(jié)規(guī)律，得到5號小球被碰后的速度．
（3）因第5個小球能繞A點做完整的圓周運動，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得該球在最高點的速度．第5號球從最底點運動到圓周的最高點的過程，根據(jù)機械能守恒列式，聯(lián)立即可求解．

解答 解：（1）設(shè)1號小球的質(zhì)量為m₁，碰前的速度為v₁．對于1號小球由h高運動到最低點過程，根據(jù)機械能守恒有：
m₁gh=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$…①
解得：v₁=$\sqrt{2gh}$…②
（2）設(shè)1號、2號小球碰撞后的速度分別為v₁′和v₂，取水平向右為正方向．對于1、2號小球碰撞的過程，根據(jù)動量守恒定律有：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂…③
根據(jù)機械能守恒有：$\frac{1}{2}$m₁v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₁′²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²：④
解得：v₂=$\frac{2}{1+k}$$\sqrt{2gh}$
設(shè)2號、3號小球碰撞后的速度分別為v₂′和v₃，對于2、3號小球碰撞的過程，根據(jù)動量守恒定律有：
m₂v₂=m₂v₂′+m₃v₃   
根據(jù)機械能守恒有：$\frac{1}{2}$m₂v₂²=$\frac{1}{2}$m₂v₂′²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²   
同理可解得：3號小球被碰后的速度為：v₃=（$\frac{2}{1+k}$）²$\sqrt{2gh}$
由以上規(guī)律可推知5號小球被碰后的速度為：v₅=（$\frac{2}{1+k}$）⁴$\sqrt{2gh}$…⑤
解得：v₅=4$\sqrt{2gh}$…⑥
（3）5號小球繞釘子A做完整的圓周運動在最高點至少有：m₅g=m₅$\frac{v{′}^{2}}{r}$…⑦
第5個小球從最底點運動到圓周的最高點根據(jù)機械能守恒，可知：
 m₅gLsin30°+m₅g（r+rsin30°）=$\frac{1}{2}{m}_{5}{v}_{5}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{5}{v}^{′2}$…⑧
解得：r=$\frac{1}{4}$L…⑨
所以有P≥$\frac{3}{4}$小球能繞A點做完整的圓周運動
答：（1）1號小球與2號小球碰撞之前的速度v₁的大小是$\sqrt{2gh}$；
（2）第5個球被第4個小球碰后的速度是4$\sqrt{2gh}$；
（3）P≥$\frac{3}{4}$小球能繞A點做完整的圓周運動．

點評 本題是利用動量守恒和機械能守恒聯(lián)合解決一維碰撞問題的典型例子，關(guān)鍵是把握彈性碰撞的規(guī)律：動量守恒定律和機械能守恒定律，通過列式得到碰后小球速度的通式，采用的是歸納法．