Question

15．如圖甲所示，勻強磁場方向垂直紙面向里，磁場寬度為3L，正方形金屬框邊長為L，每邊電阻均為$\frac{R}{4}$，金屬框以速度υ的勻速直線穿過磁場區(qū)，其平面始終保持與磁感線方向垂直，當金屬框cd邊到達磁場左邊緣時，勻強磁場磁感應強度大小按如圖乙所示的規(guī)律變化．

（1）求金屬框進入磁場階段，通過回路的電荷量；
（2）在圖丙i-t坐標平面上畫出金屬框穿過磁場區(qū)的過程中，金屬框內感應電流i隨時間t的變化圖線（取逆時針方向為電流正方向）；
（3）求金屬框穿過磁場區(qū)的過程中cd邊克服安培力做的功W．

Answer 1

分析 （1）金屬框進入磁場階段，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$求感應電流，由q=It求電荷量．
（2）由乙圖知，線框完全磁場后，磁場的磁感應強度均勻增大，產生感生電動勢和感應電流，由法拉第電磁感應定律和歐姆定律結合求感應電流．分三段研究，再作出圖象．
（3）cd邊克服安培力做的功W等于金屬框產生的焦耳熱，根據功能關系和焦耳定律求解．

解答 解：（1）金屬框進入磁場階段產生的電動勢  E₁=B₀Lv                
產生逆時針方向的感應電流，感應電流的大小 I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
則通過回路的電荷量 q=I₁•$\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$                                                        
（2）金屬框在磁場中產生逆時針方向的感應電流，大小為   I₂=$\frac{S•△B}{R△t}$=$\frac{{B}_{0}Lv}{2R}$
金屬框離開磁場階段產生的順時針方向的感應電流，為   I₃=-$\frac{2{B}_{0}Lv}{R}$
金屬框內感應電流的i-t圖線如圖所示．                      
（3）線圈進入磁場時，cd邊克服安培力做的功為

W₁=$\frac{{E}_{1}^{2}}{R}•\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{R}$                                                                                       
線圈在磁場內運動時，cd邊克服安培力做功的功率
P=Fv=BI₂Lv=$\frac{{B}_{0}Lv}{2R}$•L•（B₀+k△t）v
其中，k=$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}v}{2l}$                
此過程克服安培力做的功 W₂=$\overline{P}$t=$\frac{{P}_{1}+{P}_{2}}{2}$t=$\frac{\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•{B}_{0}+\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•2{B}_{0}}{2}$$•\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{4R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$                                                                
則 W=W₁+W₂=$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．
答：
（1）金屬框進入磁場階段，通過回路的電荷量為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
（2）在圖丙i-t坐標平面上畫出金屬框內感應電流i隨時間t的變化圖線如圖所示．
（3）金屬框穿過磁場區(qū)的過程中cd邊克服安培力做的功W為$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．

點評 本題考查了電磁感應與電路、圖象和能量的綜合，關鍵要有分段研究感應電動勢、感應電流和功的能力，特別是明確當功率均勻增大時，要知道平均功率等于初、末功率的平均值．