Question

4．如圖所示，半徑為R的半圓形軌道豎直固定在水平桌面上，圓心O與軌道上邊沿和滑輪上邊沿在同一水平線上，軌道最低點a與桌面相切．Oc與Oa的夾角為60°，A、B兩球用跨過滑輪的輕繩連接（兩球均可視為質(zhì)點）．A球從c點由靜止釋放后沿圓軌道滑到a點時速度恰好為零．設(shè)輕繩足夠長，不計一切摩擦，在此過程中下列說法正確的是（　　）

• A． 重力對A球做功的功率先變大后變小
• B． 兩球速度大小始終相等
• C． 繩上的拉力始終大于B球重力
• D． A、B兩小球的質(zhì)量之比為3：1

Answer 1

分析 A、B兩個小球用繩子連在一起，兩球沿繩子方向的速度是一樣的，但兩球速度不相同，要利用運動的合成和分解求出兩球速度的關(guān)系；若A恰好能沿圓弧軌道下滑到a點，此時兩小球速度均為零，根據(jù)動能定理求解質(zhì)量關(guān)系．

解答 解：設(shè)A、B兩球質(zhì)量分別為m_A和m_B，
A、重力對A球做功的功率P_A=m_Agv_y，這里的v_y是指A的豎直分速度，A由靜止釋放，所以A一開始的豎直速度也必然為零，最后運動到a點的時候，
由于此時的切線是水平的，所以此時的豎直速度也是零，但是在這個過程當(dāng)中是有豎直分速度的，豎直速度是從無到有再到無的變化過程，
也就是一個先變大后變小的過程，所以重力做功的功率也是先增大后減小的過程，故A正確；
B、A由c點下滑到a的過程中，沿繩子方向的速度是一樣的，在A滑下去一段過程以后，此時的繩子與圓的切線是不重合，而是類似于圓的一根弦線而存在，將A的速度正交分解為沿繩方向使繩伸長的分速度和垂直繩方向使繩發(fā)生偏轉(zhuǎn)的分速度，所以A的速度大小大于A沿繩子方向伸長的分速度大小，又因為一根繩沿繩的速度大小相等，所以B的速度大小等于A沿繩子方向伸長的分速度的大小，則A的速率大于B速率，故B錯誤；
C、兩個小球的速度都是先增大后減小，當(dāng)B向上的速度增大時，加速度的方向向上，繩上的拉力大于B球重力；而當(dāng)B向上減速時，加速度的方向向下，繩上的拉力小于B球重力．故C錯誤；
D、根據(jù)余弦定理知，c點到軌道的上沿的距離，即弦長為$\sqrt{{R}^{2}+{R}^{2}-2{R}^{2}cos30°}$=$\sqrt{2-\sqrt{3}}R$，若A恰好能沿圓弧軌道下滑到a點，此時兩小球速度均為零，
由動能定理得：m_Ag$\frac{R}{2}$-m_Bg（$\sqrt{2}$-$\sqrt{2-\sqrt{3}}$）R=0-0，解得：m_A=（2$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$）m_B，故D錯誤．
故選：A．

點評 本題考查動能定理的綜合運用，解題的關(guān)鍵是對兩個小球運動情況的分析，知道小球做什么運動，并能結(jié)合運動的合成和分解，將球A的速度正交分解，找到兩球速度關(guān)系，利用動能定理、幾何關(guān)系解題，難度適中．