Question

德國亞琛工業(yè)大學(xué)的科研人員成功開發(fā)了一種更先進(jìn)的磁動(dòng)力電梯升降機(jī)，滿足上千米摩天大樓中電梯升降的要求．如圖所示就是一種磁動(dòng)力電梯的模擬圖，在豎直平面上有兩根很長(zhǎng)的平行豎直軌道，軌道間有垂直于軌道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，B₁和B₂的大小相等，方向相反，兩磁場(chǎng)始終豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng)．電梯轎廂固定在如圖所示的金屬框abcd內(nèi)（電梯轎廂在圖中未畫出），并且與之絕緣，利用磁場(chǎng)與金屬框間的相互作用，使電梯轎廂獲得動(dòng)力．已知電梯載人時(shí)的總質(zhì)量為5.0×10³kg，金屬框垂直軌道的邊長(zhǎng)L_cd=2.5m，兩磁場(chǎng)的寬度均與金屬框的邊長(zhǎng)L_ad相同，金屬框整個(gè)回路的電阻R=1.0×10^-3Ω，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=B₂=1T，不計(jì)軌道及空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）當(dāng)電梯以某一速度勻速上升時(shí)，金屬框中的感應(yīng)電流的大小及圖示時(shí)刻感應(yīng)電流的方向．
（2）假設(shè)設(shè)計(jì)要求電梯以v₁=10m/s的速度向上勻速運(yùn)動(dòng)，則磁場(chǎng)向上運(yùn)動(dòng)速度v應(yīng)該為多大？
（3）在電梯以v₁=10m/s的速度向上作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，為維持它的運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)每秒需提供的總能量．

Answer 1

分析：（1）電梯上升的動(dòng)力是ab、cd所受的安培力的合力．勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件和安培力可求出感應(yīng)電流的大小，由右手定則判斷方向．
（2）電梯以v₁=10m/s的速度向上勻速運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)向上運(yùn)動(dòng)速度v，電梯相對(duì)于磁場(chǎng)的速度大小為v-v₁，由歐姆定律和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可求出v．
（3）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求得磁場(chǎng)每秒需提供的總能量．

解答：解：設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁=B₂=B
（1）金屬框勻速運(yùn)動(dòng)，則金屬框受到的安培力與重力平衡．得到
     2BIL_cd=mg
    解得  I=1×10⁴A
    由右手定則判斷出感應(yīng)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向．
（2）金屬框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=2BL_cd（v-v₁）
     則得I=

E

R

代入解得    v=12m/s
（3）金屬框中的焦耳熱功率P₁=I²R，重力的功率P₂=mgv₁
由能量守恒得，磁場(chǎng)每秒提供的能量W=（P₁+P₂）t=6×10⁵J
答：（1）金屬框中的感應(yīng)電流的大小為1×10⁴A，感應(yīng)電流的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向．
    （2）磁場(chǎng)向上運(yùn)動(dòng)速度v應(yīng)該為12m/s．
    （3）為維持電梯的運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)每秒需提供的總能量為6×10⁵J．

點(diǎn)評(píng)：本題理論聯(lián)系實(shí)際問題，與常規(guī)題不同的是，金屬框ab、cd都切割磁感線，產(chǎn)生兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)邊都受安培力，而且磁場(chǎng)與導(dǎo)體一起運(yùn)動(dòng)，有效的切割速度是兩者的相對(duì)速度．