Question

如圖所示，兩繩系一個(gè)質(zhì)量為m=0.1 kg的小球，上面繩長(zhǎng)l=2 m，兩繩都拉直時(shí)與軸夾角分別為30°與45°，問(wèn)球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終拉緊？當(dāng)角速度為3 rad/s時(shí)，上、下兩繩拉力分別多大？

Answer 1

解析：當(dāng)ω由0逐漸增大時(shí)，半徑R增大，F(xiàn)₁增大，F(xiàn)₂=0；當(dāng)ω增加為ω₁時(shí)半徑R=l·sin30°=，BC恰好拉直，F(xiàn)₂仍為零，只有ω＞ω₁時(shí)才會(huì)有F₁、F₂都大于0，隨ω繼續(xù)增大（半徑仍為R=不變），F(xiàn)₂增大，F(xiàn)₁減小.當(dāng)ω增為ω₂時(shí)，AC仍拉直，但F₁已為零，故只要ω₁＜ω₂，F(xiàn)₁＞0，F(xiàn)₂＞0.

    解：兩繩拉緊時(shí)，小球受力如圖所示，當(dāng)ω由0逐漸增大時(shí)，ω有臨界值.

（1）設(shè)BC恰好拉直時(shí)（F₂=0），角速度為ω₁，則有

F₁cos30°=mg

F₁sin30°=mω₁²lsin30°

    代入數(shù)據(jù)解得ω₁=2.40 rad/s.

（2）當(dāng)ω大到一定程度時(shí)，AC仍然拉直，但F₁已為零，設(shè)此時(shí)的角速度為ω₂，則有

F₂cos45°=mg

F₂sin45°=mω₂²lsin30°

    代入數(shù)據(jù)解得ω₂=3.16 rad/s.

    所以要兩繩始終拉緊，ω必須滿足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.

（3）當(dāng)ω=3 rad/s時(shí)，F(xiàn)₁、F₂同時(shí)存在，所以

F₁sin30°+F₂sin45°=mω²Lsin30°        ①

F₁cos30°+F₂cos45°=mg               ②

    將數(shù)值代入式①②得，F(xiàn)₁=0.27 N，F(xiàn)₂=1.09 N.

答案：（1）2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s  （2）F₁=0.27 N，F(xiàn)₂=1.09 N