Question

14．某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中．為計(jì)算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v₀豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖�在水平方向朝四周均勻散開．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g．求玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度．

Answer 1

分析 根據(jù)能量守恒得出水到達(dá)玩具底板時(shí)的速度，結(jié)合動(dòng)量定理得出作用力的大小，抓住作用力與玩具的重力相等，聯(lián)立求出玩具懸停在空中離噴口的高度．

解答 解：設(shè)玩具懸停時(shí)其底面相對(duì)于噴口的高度為h，水從噴口噴出后到達(dá)玩具底面時(shí)的速度大小為v．對(duì)于△t時(shí)間內(nèi)噴出的水，由能量守恒得：
$\frac{1}{2}（△m）{v^2}+（△m）gh=\frac{1}{2}（△m）v_0^2$…①
在h高度處，△t時(shí)間內(nèi)噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動(dòng)量變化量的大小為：△p=（△m）v…②
設(shè)水對(duì)玩具的作用力的大小為F，根據(jù)動(dòng)量定理有：F•△t=△p…③
由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得：F=Mg…④
聯(lián)立①②③④式得：$h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{{{M^2}g}}{{2{ρ^2}v_0^2S_{\;}^2}}$．
答：玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-\frac{{M}^{2}g}{2{ρ}^{2}{{v}_{0}}^{2}{S}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量定理與能量守恒的直接應(yīng)用，知道玩具在空中懸停時(shí)，受力平衡，合力為零，兩外注意水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱�，難度適中．