Question

13．如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場分布在邊長為L的正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點是cd邊的中點．一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t₀剛好從c點射出磁場．求
（1）帶電粒子在此運動過程中的速度大小．
（2）現(xiàn)設法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，則能在磁場中運動的最長的時間為多少？
（3）現(xiàn)設法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成60°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，則能從ab邊射出所對應的速度至少為多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出粒子的軌道半徑，然后根據(jù)粒子的運動時間求出粒子的速度．
（2）粒子在磁場中做圓周運動，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角越大，粒子的運動時間越長，求出粒子的最大圓心角，然后求出粒子的最長運動時間．
（3）作出粒子的運動軌跡，求出粒子的軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出粒子的速度．

解答 解：（1）由題意可知，從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t₀剛好從c點射出磁場，則粒子的軌道半徑為：r=$\frac{L}{4}$，
粒子運動時間：t₀=$\frac{1}{2}$T，則粒子做圓周運動的周期：T=2t₀，
粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{πL}{2v}$，
則粒子的速度：v=$\frac{πL}{4{t}_{0}}$；
（2）粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=2t₀，
粒子在磁場中的運動時間：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ{t}_{0}}{π}$，
粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角θ越大，粒子的運動時間越長，粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向射入磁場，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的最大圓心角：θ_max=300°=$\frac{5π}{3}$，
粒子的最長運動時間：t_max=$\frac{5}{3}$t₀；
（3）粒子從O點沿紙面以與Od成60°角的方向射入正方形內(nèi)，恰好能從ab邊射出時粒子的運動軌跡與ab邊相切，粒子運動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：rsin30°+r=L，
解得：r=$\frac{2}{3}$L，
粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由（2）可知：T=$\frac{2πm}{qB}$=2t₀，
解得：v=$\frac{2πL}{3{t}_{0}}$，
粒子要從ab邊射出，粒子的速度：v≥$\frac{2πL}{3{t}_{0}}$；
答：（1）帶電粒子在此運動過程中的速度大小為$\frac{πL}{4{t}_{0}}$．
（2）能在磁場中運動的最長的時間為$\frac{5}{3}$t₀．
（3）能從ab邊射出所對應的速度至少為$\frac{2πL}{3{t}_{0}}$．

點評 本題是帶電粒子在磁場中圓周運動類型，抓住粒子的周期一定，根據(jù)速度的偏向角等于軌跡的圓心角，由圓心角確定粒子在磁場中的運動時間．