Question

如圖所示，質(zhì)量均為m的兩物體A、B分別與輕質(zhì)彈簧的兩端相連接，將它們靜止放在地面上．一質(zhì)量也為m的小物體C從距A物體h高處由靜止開(kāi)始下落．C與A相碰后立即粘在一起向下運(yùn)動(dòng)，以后不再分開(kāi)．當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，物體B對(duì)地面剛好無(wú)壓力．不計(jì)空氣阻力．彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．已知重力加速度為g．求?
（1）A與C一起開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大�。�?
（2）A與C一起運(yùn)動(dòng)的最大加速度大�。�?
（3）彈簧的勁度系數(shù)．（提示：彈簧的彈性勢(shì)能只由彈簧勁度系數(shù)和形變量大小決定）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物體C與物體A相碰前的速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出A、C一起向下運(yùn)動(dòng)的速度大小．
（2）A與C一起將在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力最大，加速度最大，對(duì)B分析，求出此時(shí)彈簧的彈力大小，再對(duì)AC分析，運(yùn)用牛頓第二定律求出最大加速度大�。�
（3）開(kāi)始A處于平衡狀態(tài)時(shí)彈簧的壓縮量與AC上升到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量相等，則彈性勢(shì)能相等，抓住兩個(gè)位置系統(tǒng)機(jī)械能守恒，求出彈簧的形變量，從而根據(jù)胡克定律求出勁度系數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)小物體C從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律有：
     mgh=

1

2

mv2
設(shè)C與A碰撞粘在一起的速度為v′，由動(dòng)量守恒定律得，
mv=（m+m）v′，
解得v′=

1

2

2gh

．
答：A與C一起開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為

1

2

2gh

．
（2）A與C一起將在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力最大，加速度最大、
AC、B受力如圖．
B受力平衡有：F=mg
對(duì)AC運(yùn)用牛頓第二定律：F+2mg=2ma
解得a=1.5g．
答：A與C一起運(yùn)動(dòng)的最大加速度大小為1.5g．
（3）設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k
開(kāi)始時(shí)A處于平衡狀態(tài)，設(shè)彈簧的壓縮形變量為△x
對(duì)A有k△x=mg①
當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高時(shí)，設(shè)彈簧的拉伸形變量為△x″
對(duì)B有k△x″=mg②
由以上兩式得△x=△x″
因此，在這兩個(gè)位置時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能相等：
對(duì)A、C，從原平衡位置到最高點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
E彈+

1

2

(m+m)v′2=2mg(△x+△x″)+E彈′③
聯(lián)立各式解得：k=

8mg

h

答：彈簧的勁度系數(shù)為

8mg

h

．

點(diǎn)評(píng)：本題的過(guò)程較復(fù)雜，關(guān)鍵是理清過(guò)程，正確地受力分析，運(yùn)用動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律進(jìn)行求解．