Question

10．如圖，A是地球的同步衛(wèi)星．另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉角速度為ω₀，地球質量為M，O為地球中心．
（1）開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即 k是一個對所有行星都相同的常量．開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立．請你推導出地月系中該常量k的表達式．已知引力常量為G．
（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們還能相距最近？

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，于是軌道半長軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列式求解即可；
（2）衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，當衛(wèi)星B轉過的角度與衛(wèi)星A轉過的角度之差等于2π時，衛(wèi)星再一次相距最近

解答 解：（1）因衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，于是軌道半長軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{G}{4{π}^{2}}$M
（2）由萬有引力定律和向心力公式得 G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=mω_B²（ R+h ）   
在地球表面有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
得ω_B=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
由題意得（ω_B-ω₀）t=2π  
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-{ω}_{0}}$
答：（1）地月系中該常量k的表達式為k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M；
（2）至少經(jīng)過時間$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-{ω}_{0}}$，它們還能相距最近．

點評 本題考查萬有引力定律和圓周運動知識的綜合應用能力，向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用，難度適中．