Question

如圖所示，傾角θ=30°、長(zhǎng)L=2.7m的斜面，底端與一個(gè)光滑的1/4圓弧平滑連接，圓弧底端切線水平．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的質(zhì)點(diǎn)從斜面最高點(diǎn)A沿斜面下滑，經(jīng)過(guò)斜面底端B恰好到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C，又從圓弧滑回，能上升到斜面上的D點(diǎn)，再由D點(diǎn)由斜面下滑沿圓弧上升，再滑回，這樣往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最后停在B點(diǎn)．已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

3

/6，g=10m/s²，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)斜面與圓弧平滑連接處速率不變．求：
（1）質(zhì)點(diǎn)第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力；
（2）質(zhì)點(diǎn)從A到D的過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)下降的高度；
（3）質(zhì)點(diǎn)從開始到第6次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的過(guò)程中因與斜面摩擦而產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和第三定律求出質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓弧軌道的壓力．
（2）對(duì)AB段和BD段分別運(yùn)用動(dòng)能定理，求出BD的長(zhǎng)度，從而得出質(zhì)點(diǎn)從A到D的過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)下降的高度．
（3）分別對(duì)上滑過(guò)程和下滑過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，得出上滑的位移與下滑的位移的關(guān)系，從而找出規(guī)律，得出質(zhì)點(diǎn)在斜面上運(yùn)動(dòng)的路程，通過(guò)Q=fs求出產(chǎn)生的熱量．

解答：解：（1）設(shè)圓弧的半徑為R，則質(zhì)點(diǎn)從C到B過(guò)程，由

mgR= 1 2 mυ2 FN-mg=m υ2 R

得：F_N=3mg=3×1×10N=30N  
根據(jù)牛頓第三定律，質(zhì)點(diǎn)第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)對(duì)圓弧軌道的壓力為30N．
（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)第一次由B點(diǎn)沿斜面上滑的速度為υ₁，B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離為L(zhǎng)₁

mgLsin30o-μmgcos30oL= 1 2 m υ 2 1 -mgL1sin30o-μmgcos30oL1=0- 1 2 m υ 2 1

代入數(shù)據(jù)解得：L1=

1

3

L=0.9m  
則質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到D點(diǎn)下降的高度h=0.9m  
（3）設(shè)質(zhì)點(diǎn)第2次由B點(diǎn)沿斜面上滑的速度為υ₂，沿斜面上滑的距離為L(zhǎng)₂．則

mgL1sin30o-μmgcos30oL1= 1 2 m υ 2 2 -mgL2sin30o-μmgcos30oL2=0- 1 2 m υ 2 2

得：L2=

1

3

L1
同理可推得：質(zhì)點(diǎn)第n次由B點(diǎn)沿斜面上滑的距離L_n為Ln=

1

3

Ln-1=(

1

3

)nL
所以質(zhì)點(diǎn)從開始到第6次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的過(guò)程中，在斜面上通過(guò)的路程為
S=L+2（L₁+L₂）=5.1m  
Q=μmgcos30°S=12.75J   
答：（1）質(zhì)點(diǎn)第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力為30N．
（2）質(zhì)點(diǎn)從A到D的過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)下降的高度為0.9m．
（3）質(zhì)點(diǎn)從開始到第6次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的過(guò)程中因與斜面摩擦而產(chǎn)生的熱量為12.75J．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，難度中等，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行求解．