Question

12．如圖甲所示，在xOy平面（y軸沿豎直方向）的矩形區(qū)域MNPQ內存在平行于y軸方向的勻強電場，其電場強度E隨時間t變化的規(guī)律如圖乙所示（沿y軸正向為其正方向），該矩形區(qū)域的長和寬分別為a=40cm和b=20cm，且下邊界PQ與x軸重合，坐標原點O為下邊界PQ的中點；在矩形區(qū)域MNPQ內有一個半徑R=10cm的虛線圓（O點在虛線圓上），在虛線圓區(qū)域內還存在垂直于xOy平面向外的勻強磁場，其磁感應強度B隨時間t變化的規(guī)律如圖丙所示．在t=0時刻，一質量m=9.0×10^-9kg、帶電荷量q=+9.0×10^-6C的小球，以v₀=10m/s的初速度沿y 軸正向從O點射入虛線圓區(qū)域，取重力加速度g=10m/s²．

（1）分析小球在虛線圓區(qū)域內的運動情況，畫出其運動軌跡的示意圖，并確定小球在虛線圓區(qū)域內的運動時間及離開該區(qū)域時的位置坐標．
（2）確定小球從矩形區(qū)域離開時的位置坐標．

Answer 1

分析 （1）分析小球的受力情況，根據小球的受力情況分析清楚小球的運動情況，應用圓周運動的周期公式與軌道半徑公式求出小球做圓周運動的周期與軌道半徑，然后答題．
（2）小球離開圓形虛線區(qū)域后做類平拋運動，應用類平拋運動規(guī)律分析答題．

解答 解：（1）小球運動軌跡如圖所示：
小球從O點射入虛線圓形區(qū)域后，受重力、電場力、洛倫茲力作用，在0～$\frac{7π}{600}$s時間內，由于電場力與重力合力為零，則小球在這段時間內，如果小球在虛線圓形區(qū)域內，小球將在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，在0～$\frac{π}{600}$s內，小球做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
解得：T=$\frac{π}{50}$s，
小球做圓周運動的軌道半徑：r=$\frac{mv}{qB}$，
代入數據解得：r=0.1m=10cm，
運動軌跡對應的圓心角：θ=$\frac{{t}_{0}}{T}$×360°，其中：t₀=$\frac{π}{600}$s，
解得：θ=30°，
在$\frac{π}{600}$s～$\frac{3π}{600}$s時間內，由于磁場的磁感應強度變?yōu)樵瓉淼?2倍，
則小球做圓周運動的軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{12}$，即為：$\frac{5}{6}$cm，周期變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{12}$，即為$\frac{π}{600}$s，
可見：在這段時間內，小球正好運動兩2周，最后處于與前一段時間的末狀態(tài)相同的狀態(tài)，
進一步分析可知：在$\frac{3π}{600}$s～$\frac{4π}{600}$s及$\frac{6π}{600}$s～$\frac{7π}{600}$s時間內，小球的運動情況與其在0～$\frac{π}{600}$s時間的運動情況相同，在$\frac{4π}{600}$s～$\frac{6π}{600}$s時間內小球的運動情況與其在$\frac{π}{600}$s～$\frac{3π}{600}$s時間內的運動情況相同．
根據以上分析可知，小球的運動軌跡如圖所示，其在虛線區(qū)域內的運動時間：△t=$\frac{7π}{600}$s．
由幾何知識可得，小球離開虛線區(qū)域時的位置坐標為：（10cm，10cm）．
（2）小球在t=$\frac{7π}{600}$s時從坐標為（10，10）的位置以沿x軸正方向的速度：v₀=10m/s離開虛線圓形區(qū)域，
在$\frac{7π}{600}$s-$\frac{14π}{600}$s時間內，小球若在矩形區(qū)域MNPQ內，則小球在重力和電場力作用下做類平拋運動，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{mg+qE}{m}$，設小球離開虛線區(qū)域到離開矩形區(qū)域所以時間為t，在該過程中，
小球沿x軸正方向的位移大�。簒₀=10cm=0.1m，x₀=v₀t，
解得：t=0.01s，可見，在不到$\frac{14π}{600}$s時刻，
小球已經離開矩形區(qū)域，小球沿y軸負方向的位移大小為y₀=$\frac{1}{2}$at²，
代入數據解得：y=0.02m=2cm，
故小球從矩形區(qū)域離開時的位置坐標為：（20cm，8cm）．
答：（1）小球在虛線圓區(qū)域內的運動軌跡如圖所示，小球在虛線圓區(qū)域內的運動時間為$\frac{7π}{600}$s，
離開該區(qū)域時的位置坐標為：（10cm，10cm）．
（2）小球從矩形區(qū)域離開時的位置坐標為：（20cm，8cm）．

點評 本題考查了小球在復合場中的運動，分析清楚小球的運動過程，應用小球最圓周運動的周期公式與半徑公式、類平拋運動規(guī)律即可在解題．