Question

10．如圖所示，三個同心圓將空間分隔成四個區(qū)域，圓Ⅰ的半徑為R，在圓心O處有一粒子源，該粒子源可向各個方向釋放質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子，圓Ⅱ的半徑為2R，在圓Ⅰ與圓Ⅱ的環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，圓Ⅲ是一絕緣圓柱形管，在圓Ⅱ與圓Ⅲ間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場B₁，該磁場的寬度為2R，不計粒子的重力，粒子源所釋放的某一粒子剛好沿圓Ⅱ的切線方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B₁，假設(shè)粒子每一次經(jīng)過圓Ⅱ且與該圓相切時均進(jìn)入另一磁場，則：
（1）求該粒子速度的大��；
（2）若進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B₁的粒子剛好垂直打在管壁上，求B₁的大�。�可用B表示）；
（3）若打在管壁上的粒子能按原速率反彈，則從開始到第一次回到O點(diǎn)所經(jīng)歷的時間至少是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電粒子在磁場中受到洛倫茲力，提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律，結(jié)合向心力表達(dá)式，與幾何關(guān)系，即可求解；
（2）畫出正確的運(yùn)動軌道圖，結(jié)合幾何關(guān)系，確定已知長度與軌道半徑的關(guān)系，從而求解；
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動的周期公式，結(jié)合各自軌道對應(yīng)的圓心角，及運(yùn)動學(xué)公式，從而求解從開始到第一次回到O點(diǎn)所經(jīng)歷的時間．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入磁場B的速度為v₁，
粒子在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示的運(yùn)動軌道；

由圖可知，直角三角形OA0₁中，由勾股定理，則有：（2R-r₁）²=R²+r${\;}_{1}^{2}$；
解得：r₁=$\frac{3}{4}R$；
再根據(jù)牛頓第二定律，則有：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：v₁=$\frac{3BqR}{4m}$；
（2）由題意可知，帶電粒子呈現(xiàn)負(fù)電，當(dāng)進(jìn)入磁場B₁時，洛倫茲力與之前的方向相反，則運(yùn)動軌跡如上圖所示；
設(shè)在磁場B₁中的運(yùn)動軌道對應(yīng)的半徑為r₂，
由幾何關(guān)系可知，在直角三角形OO₂C中，則有：$（4R）^{2}{+r}_{2}^{2}=（2R+{r}_{2}）^{2}$；
解得：r₂=3R；
因洛倫茲力不做功，則粒子的速度大小不變，
根據(jù)B₁qv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：B₁=$\frac{m{v}_{1}}{q{r}_{2}}$=$\frac{m\frac{3BqR}{4m}}{q•3R}$=$\frac{B}{4}$；
（3）粒子從O到A，做勻加速直線運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式，可知，運(yùn)動的時間t₁=$\frac{R}{\frac{{v}_{1}}{2}}$=$\frac{8m}{3Bq}$；
當(dāng)粒子從A到B做勻速圓周運(yùn)動，因r₁=$\frac{3}{4}R$，則tan∠OO₁A=$\frac{3}{4}$，解得：∠OO₁A=37°，因此∠AO₁B=143°；
而粒子從B到C也做勻速圓周運(yùn)動，因r₂=3R；則tan∠OO₂C=53°；
那么粒子從A到C的運(yùn)動的時間t′=t₂+t₃=$\frac{2πm}{Bq}$$\frac{143°}{180°}$+$\frac{2πm}{{B}_{1}q}×\frac{53°}{180°}$=$\frac{3.94πm}{Bq}$；
所以從開始到第一次回到O點(diǎn)所經(jīng)歷的時間至少是t=2（t+t′）=$\frac{（16+23.7π）m}{3Bq}$；
答：（1）該粒子速度的大小$\frac{3BqR}{4m}$；
（2）B₁的大小$\frac{B}{4}$；
（3）則從開始到第一次回到O點(diǎn)所經(jīng)歷的時間至少$\frac{（16+23.7π）m}{3Bq}$．

點(diǎn)評 考查帶電粒子在磁場中，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動，掌握牛頓第二定律與向心力的綜合運(yùn)用，理解周期與半徑公式的推導(dǎo)，畫出正確的運(yùn)動軌跡圖是解題的關(guān)鍵，注意在磁場中求解運(yùn)動的時間時，除與圓心角的大小有關(guān)，與磁場的大小有關(guān)．