Question

16．如圖1所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導軌間距為L₀、M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直．整套裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下，導軌和金屬桿的電阻可忽略．讓ab桿沿導軌由靜止開始下滑，導軌和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦．

（1）由b向a方向看到的裝置如圖2所示，請在此圖中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖并說明電流的方向；
（2）在加速下滑過程中，當ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大��；
（3）求在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值．

Answer 1

分析 （1）金屬桿先沿導軌向下做加速度減小的變加速運動，后做勻速運動，速度達到最大值，此時金屬桿受到重力、支持力與安培力；
（2）金屬桿在加速下滑過程中，根據(jù)法拉第電磁感應定律，結合閉合電路歐姆定律，可求出感應電流的大小，再與安培力表達式，并由牛頓第二定律求解加速度大�。�
（3）金屬桿從靜止開始至達到最大速度時，加速度等于零，因此根據(jù)上式，即可求解；

解答 解：（1）棒切割磁感線，從而產(chǎn)生感應電流，出現(xiàn)安培力，因此受到重力、支持力與安培力作用，受力分析如圖示：

（2）當ab桿速度為v時，感應電動勢E=BLv，
此時電路電流
$I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$
ab桿受到安培力$F=BIL=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}$
根據(jù)牛頓運動定律，有
$mgsinθ-F=mgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}=ma$
加速度 $a=gsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{mR}$
（3）當a=0 即 $\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}=mgsinθ$時，ab桿達到最大速度
${v_m}=\frac{mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$，
答：（1）受力分析如圖所示；
（2）此時ab桿中的電流及其加速度的大小為gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$
（3）在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值為$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$

點評 本題的關鍵是會推導安培力的表達式，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應現(xiàn)象，常規(guī)題，注意本題最大的特點就是物理量沒有數(shù)據(jù)，因此特別注意過程的運算，這是解題的關鍵．